1-boyutlu ısı denkleminin verilen başlangıç ve sınır koşullarına uyan çözümünü nasıl buluyoruz?

Question

Şeklinde verlen 1-boyutlu ısı denkleminin verilen başlangıç ve sınır koşullarına uyan çözümünü bulunuz.

Çözüm:

$$u(x,t)=\dfrac{f(x-2t)+f(x+2t)}{2}+\dfrac{1}{4}\large\displaystyle\int_{x-2t}^{x+2t}Dd\varepsilon+\dfrac{1}{4}\large\displaystyle\int_{0}^{t}\large\displaystyle\int_{x-2(t-\zeta)}^{x+2(t-\zeta)}\zeta d\varepsilon d\zeta$$

 

 

$$=x^2-x^3-12xt+4t^2+\dfrac{t^3}{2}-\dfrac{4t^3}{3}$$

 

Ben bu şekilde buldum ama emin olamıyorum.Doğru mu ilerlemişim bilmiyorum  yardımcı olabilirseniz çok sevinirim

Comments

Denklemler okunamıyor maalesef. Dolar işareti arasına koyuyorsunuz değil mi?

Fakat şunu anladım ki bu problemi de d'Alambert formülüyle çözmüşsünüz. Fakat bu formül, bir boyutlu dalga denklemi içindir. Isı iletim denklemini mesela Değişkenlerin Ayrımı (seperation of variables) (diğer adı Fourier Yöntemi) yöntemiyle çözebilirsiniz.

---

Evet ama olmuyor yinede.diğer örneklere bakınca ona göre çözmekstedim ama siizin dediğiniz yöntemi bilmiyorum nasıl oluyor?

---

Denklemler neden gözükmüyor? İki dolar işareti arasında yazdınız mı?

---

Evet yazdım.Ama bir türlü olmuyor

---

$$u(x,t)=\dfrac{f(x-2t)+f(x+2t)}{2}+\dfrac{1}{4}\large\displaystyle\int_{x-2t}^{x+2t}Dd\varepsilon+\dfrac{1}{4}\large\displaystyle\int_{0}^{t}\large\displaystyle\int_{x-2(t-\zeta)}^{x+2(t-\zeta)}\zeta d\varepsilon d\zeta$$

Sizin yazdığınız il formül. Ekrandaki metni ikişer dolar arasına yazdım, böyle oldu.

---

Ben sadece iki dolar işaretinin arasına yazıcaz sanıyordum

---

Evet şimdi oldu dediğiniz gibi yaptım

---

O da doğru ama, belki ifade uzun diye öyle olmuştur.

Diğer taraftan; bulduğunuz çözümü denklemde yeriine koyarak sağlamasını yapabilirsiniz. Hesaplamadım ama çözüm yanlış gibi geldi. 

Yukarıda da dediğim gibi, bu farklı bir denklem; çözümü de doğal olarak farklı olacak.

Wiki makalesinde Solving the heat equation using Fourier series bölümünden faydalanabilirsiniz.

---

Tamam inceliyorum şu anda Türkçe ye çevirdiğimde burda şey diyor kartezyen koordinat sisteminde (x,y,z) konumunu ve t zamanı göstermek üzere diyorda x,y ve z yi nasıl bulucaz?

---

Doğrudan ilgili kısma geliniz. 4. Solving the heat equation using Fourier series

Sizin probleminiz bir boyutta, yani $y,z$ koordinatları yok. Dolayısıyla bu koordinatları düşünmenize gerek yok.

---

Ama bunların hepsi İngilizce.Türkçeye çevirincede dili sadece ilk kısım gözüküyor

---

Translatten çevirmeye çalışıyorumda birazcık x e boşluk değişkenidir diyor.Boşluk değişkeni nedir?İlk defa duyuyorumda

---

Space: konum anlamında. Siz daha çok denklemlere odaklanın. Örneğin, orada $0\leq x\leq L$ demiş. Sizde $L=1$ olacak. Oradaki $\alpha$ sizde $4$ değerinde. Oradaki $u(x,0)=f(x)$ sizde $x^2(1-x)$. Başlangıç koşullarınız aynı. Dolayısıyla devamındaki denklemleri takip ederseniz, $$u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} D_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\frac{n^2\pi^2\alpha t}{L^2}}$$ ifadesine ulaşırsınız. Yukarıdaki bilgileri bu denkleme koyup çözmeye çalışın. Burada $$D_n=\frac{2}{L}\int\limits_0^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx$$ $f(x)$ fonksiyonunun Fourier kaysayılarıdır.

Bunları deneyiniz. Problem olursa yazınız. $u(x,t)$ çözümünün türetiminde problem varsa yine sorunuz.

---

u(x,t)=X(x).T(t)

$$u_{x}(x,t)=X'(x)T(t)$$
$$u_{xx}(x,t)=X''(x)T(t)$$
$$u_{t}(x,t)=X(x)T'(t)=0$$
$$X(x)T'(t)-4X''(x)T(t)=0$$
$$X(x)T'(t)=4X''(x)T(t)$$
$$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=\dfrac{4X''(x)}{X(x)}$$
$$\dfrac{X''(x)}{X(x)}=k$$
$$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=\dfrac{1}{4k}$$
$$X''-kX=0$$
$$X''=kX$$
$$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=\dfrac{1}{4k}$$
$$4kT'=T$$
$$T'=\dfrac{T}{4k}$$

buraya kadar bulabildim sadece

---

u(0,t)=X(0)T(t)=0

u(1,t)=X(1)T(t)=0

buradan X(0)=0 ve X(1)=0 buldum.

i)k=0 için

$$m^2=0$$ , $$m_{1,2}=0$$

$$X(x)=c_{1}e^0+xc_{2}e^0$$
$$c_{1}+xc_{2}=X(x)$$
$$X(0)=c_{1}+0c_{2}=0$$
olduğundan buradan $$c_{1}=0$$ olur.

$$X(1)=c_{1}+1c_{2}=0$$
buradan ise $$c_{2}=0$$
ii)k>0 için ise $$m=-+\sqrt{k}$$

$$X(0)=c_{1}+c_{2}=0$$
$$X(1)=c_{1}e^\sqart{k}+c_{2}e^\sqart{k}$$

burdan determinant alınca 0 a eşit değil çıkıyor.

İii)k<0 için

$$m^2=-k$$ , $$m_{1,2}=-+i\sqrt{k}$$

$$X(x)=c_{1}cos\sqrt{k}x+c_{2}sin\sqrt{k}x$$ , $$X(0)=c_{1}=0$$
$$X(1)=c_{2}sin\sqrt{k}=0$$
$$c_{2}=0$$ , $$X(x)=0$$
$$c_{2}\neq0$$ , $$\sqrt{k}=0+n\pi$$
$$k=n^2\pi^2$$ , $$m=-+n\pi i$$

$$T(t)=Acosn\pi t+Bsinn\pi t$$
u(x,t)=X(x)T(t)

$$=c_{n}sinn\pi x[Acosn\pi t+Bsinn\pi t]$$
en sondaki işlemin başına n=1 den sonsuza olarak toplam sembolü koymam gerekiyor ama latexle nasıl yazıldığını bilmiyorum.Sonuç olarak bunu buldum.Doğru mu acaba?

---

Siz, benim yukarıda verdiğim iki ifadeyi kendi probleminize uygulayabilir misiniz öncelikle?

Yazdığınız çözüm takip edilemiyor maalesef. Uzun ve yazımhataları vs var.

---

$$D_{n}=2\large\displaystyle\int_{0}^{1} x^2(1-x)sin(n\pi x)dx$$
Burdan $$D_{n}=4sin(n \pi)$$ buldum.Doğruluğundan emin değilim.Onuda yerine yazarsak

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}4sin(n\pi x)e^(-4 n^2 \pi^2 t)$$
gibi bir sonuç buldum

---

$D_n$ ifadesinde $\sin(n\pi x)$ olmalı. $n$ indisi unutulmuş. Aynı şey $u(x,t)$ ifadesinde de var. Zaten son yazdığınız seri içerisinde $n$ indsi yok zaten; bir hata olduğu belli. Onlara dikkat ederseniz problem çözülmüş olacak.

---

Düzenledim umarım olmuştur

---

$D_n$'nin hesabına dikkat ediniz. Artık $\sin(n\pi x)$ var içeride. Ayrıca eksponansiyelde de $n^2$ olmalı. Yukarıda yazıyor ama son yorumda gitmiş.

---

Düzenledim şimdi

---

$D_n$'yi doğru hesapladığınıza emin misiniz? Ben Wolframalpha'yla yapmıştım. Zaten o bulduğunuzun değeri sıfıra eşit, değil mi? Hesaplaması zor değil ama Wolfram şöyle diyor:

$$D_n=-\frac{4}{n^3\pi^3}\left[1+2(-1)^n\right]$$

---

Hayır emin değilim.