Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
852 kez görüntülendi

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\displaystyle\int_0^x1-\cos(t^2)dt}{x^2}$ limitini bulunuz.

 

Lisans Matematik kategorisinde (31 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 852 kez görüntülendi
Limit $\dfrac00$ cikar, L'Hospital kullanabilirsin. Eger integral $1-\cos(t^2)$ ise integral alamazsiniz. Oyle  analitik bir fonksiyon yok ki turevi $\cos(t^2)$ olsun.  Onun icin Kalkulusun Temel Teoremini kullanmalisiniz..

https://www.bilgicik.com/yazi/integral-hesabin-birinci-temel-teoremi/
bişey diyeceğim dediğiniz gibi L'Hospitali denedim ayrı etten birkaç yerden daha araştırdımda tam bişey elde edemedim yardımcı olurmusunuz daha doğrusu hiç ilerliyemedim ilk baş kısmını çıkartamıyorum
Payin turevi ndir?
tamamda öncelikle değişken değiştirme yapmıcakmıyız
-2cost x sint
Ustte paylastigim linke baktiniz mi?
Cozumunuz yanlis $\cos^2(t)\neq\cos(t^2)$
neyse çok teşşekür ederim uğraştığınız için çünkü kafamı çok karıştırdı soru zaten yapmamaya karar verdim çözmiyeceğim her şey için çok teşşekür ederimhakkınızı nasıl öderim bilmem çünkü çok yardımcı oldunuz
Cok kolay aslinda. Tanimi (genel hali degil ama bu isini gorur) ve bir basit ornegi gostereyim $F(x)=\displaystyle\int_a^xf(t)dt\implies F'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_a^xf(t)dt\right)=f(x)$

 

Ornek 1: $F(x)=\displaystyle\int_0^x(2t+t^2)dt\implies F'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_0^x(2t+t^2)dt\right)=2x+x^2$

 

Ornek 2: $F(x)=\displaystyle\int_0^x(\ln t +\sec t)dt\implies F'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_0^x(\ln t +\sec t)dt\right)=\ln x +\sec x$

Yani senin sorun icin $f(t)$  de $t$ yerine $x$ koyacaksin bu kadar.
$F(x)=\displaystyle\int_0^x (1-\cos(t^2))dt⟹F'(x))=\dfrac{d}{dx}\left(\int_0^x (1-\cos(t^2)) dt \right)=1-\cos(x^2)$

daha sonra

$=\displaystyle\lim_{x\to0}  \dfrac{1-\cos(x^2)}{2x}=? $

bunu elde edip belirsizlik geçene kadar L'Hopitalmi alacağım
Evet oyle, biraz duzenledim. Cunku zaten LH yaptin bir defa, (ustun turevi)/(altin turevi)

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\displaystyle\int_0^x1-\cos(t^2)dt}{x^2}=\dfrac00$

$\overset{L'H}\implies\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_0^x1-\cos(t^2)dt\right)}{\dfrac{d}{dx}(x^2)}\overset{KTT}=\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos(x^2)}{2x}=\dfrac00$

$\overset{L'H}\implies\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(x^2)(2x)}{2}=0$

 

$^*KKT=\text{Kalkulusun Temel Teoremi}$
(2.9k puan) tarafından 
20,199 soru
21,725 cevap
73,270 yorum
1,885,795 kullanıcı