$ \int _{0}^{1}t^{x-2}\cos \left( \ln t\right) dt $ ifadesinin eşitini x cinsinden bulunuz

Question

Denediklerim:Dürüst olmak gerekirse elle tutulur bi çözüm yöntemi bulamadım.Çünkü ifade improper (genelleştirilmiş) integral ve değişken değiştirmeye pek izin vermiyor.

Comments

$x=2$ icin ve $x=3$ ve de $x=4$ icin cozmeyi denedin mi? Fikir amacli. 

$u=\ln t$ olarak degisken degistirebilirsin.

---

$x=2$ için kısmi integrasyon ile uzunca bir çözümden sonra sonuç geliyor fakat $x=3$ ve daha fazlası için genel bir ifade üretemedim. Birde genel olarak x'e bağlı bir sonuç çıkartılamaz mı? Eğer cevap hayırsa neden?

---

$u=\ln t$ deyince gelmesi gerek. (ya da $e^u =t$ diyelim).

Answer 1

$e^u=t$ donusumu uygularsak $e^udu=dt$ olur ve de $$\int e^{u(x-2)}\cos (u)e^udu=\int e^{u(x-1)}\cos(u)du$$ olur. Kismi integrasyon uygularsak: $U=e^{u(x-1)}$ ve $dV=\cos (u) du$ diyelim. Bu durumda $dU=(x-1)e^{u(x-1)}du$ ve $V=\sin u$ olur; yani integralimiz $$e^{u(x-1)}\sin u-(x-1)\int e^{u(x-1)}\sin u du $$ olur. Bir kere daha uygularsak  $e^{u(x-1)}\cos u$ ifadesini bastan elde edebiliriz ve integrali cekebiliriz.

Comments

Teşekkürler çözümünüz için fakat bi noktada takıldım integral belirli olduğu için sınırları yazmamız gerek,uyguladığınız dönüşümde $ e^u=0 $ için değer mevcut değil burada  integralin son halini t cinsinden tekrar yazıp sonuca ulaşabiliriz demi(improper integral kurallarını uygulayarak)

---

`Has olmayan' dedigimiz has olan yani uygun olan integrallerin limitidir. Bu nedenle o noktada limit almak gerekir. 

Genel olarak limit almak onemli. Limit bu kavrama oturuyor. Ornegin $$\int_0^1 \frac{\sin x}{x}dx$$ integraline `has olmayan' demeyiz. Cunku $$f(x)=\begin{cases} 0 &\text{ eger } x=0 \text{ ise }\\ \frac{\sin x}{x} &\text{ eger } x=0 \text{ ise }\end{cases}$$ fonksiyonu $[0,1]$ kapali araligi uzerinde sinirlidir. Dikkat ettiysen surekli de yapmadim. Kapali aralik uzerinde sinirli olabilecek bir fonksiyon olmasi bizim icin yeterli. 

Ozetle: Yani has olmayan integral sadece has olanin makul bir limiti. Tabii onemli olan diger kavram da su: limit almak has olanlarda da yapilabilir mi, evet. (Ispat olarak buna (video) bakabilirsin). Bu sekilde has olsun, olmasin, istedigin yerde limit alabilirsin.