Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
444 kez görüntülendi
Çözüm için,

 

$A$ sabiti için,

$$ Q = \int_0^R \rho(r)  d^3 \vec{r} $$



Gauss Yasası'ndan $\vec{E}$ yi hesaplamak için,

$$ \oint \vec{E}  \cdot d^2 \vec{r} = \dfrac {1}{\epsilon_0}  Q_{iç} $$

yi

Gauss yasasındaki $Q_{iç}$ için de   

 

$$ Q_{iç} = \int_0^r \rho(r')  d^3 \vec{r}' $$

 

kullanabilriz.
Lisans Teorik Fizik kategorisinde (156 puan) tarafından  | 444 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Küresel simetriden dolayı

 

$$ d^3 \vec{r} = 4 \pi r^2 dr $$

 

olarak denklemlere yerleştirirsek,

 

A sabitini

 

$$ Q = \int_0^R \rho(r)  4 \pi r^2  dr  $$

 

$$ Q = \int_0^R A r^{N}  4 \pi r^2  dr  $$

 

$$ Q = A 4 \pi  \int_0^R  r^{N+2}  dr  $$
 

$$ Q = A 4 \pi    \dfrac{R^{(N+3)}}{N+3} $$

 

den

 

$$ A =   \dfrac{(N+3)Q}{ 4 \pi R^{(N+3)}} $$

 

olur.

 

Gauss Yasasında kullanmak için $Q_{iç}$,

 

$$ Q_{iç} = \int_0^r  A (r')^{N} \pi  (r')^2 d (r') $$

 

$$ Q_{iç} = \dfrac{(N+3)Q}{ 4 \pi R^{(N+3)}}  4 \pi \int_0^r   (r')^{N+2}   d (r') $$

 

$$ Q_{iç} = \dfrac{(N+3)Q}{  R^{(N+3)}}      \dfrac {r^{N+3}}{N+3} $$

 

$$ Q_{iç} = Q  \dfrac {r^{N+3}}{R^{(N+3)}} $$

 

olur.

 

Şimdi Gauss Yasasını uygulayalım,

 

$$ \oint \vec{E}  \cdot d^2 \vec{r} = \dfrac {1}{\epsilon_0}  Q_{iç} $$

 

$$  \vec{E} (r)  4 \pi r^2 = \dfrac {1}{\epsilon_0}  Q  \dfrac {r^{N+3}}{R^{(N+3)}}  $$

 

$$  \vec{E} (r)   = \dfrac {1}{ 4 \pi \epsilon_0} \dfrac{Q}{R^{(N+3)}}    r^{N+1}  $$

 

olur.
 

$  \vec{E} (r)  $ ın sabit olması için

 

$r^{N+1}$  de  $ N = -1 $ olmalıdır.

 

Bu durumda $\vec{E} (r)$ ,

 

$$ \vec{E} (r) = \dfrac {1}{ 4 \pi \epsilon_0} \dfrac{Q}{R^{2}}  $$

 

olur.

 

Peki yük yoğunluğu $\rho (r)$ fonksiyonu,

 

$$ \rho (r) = A \dfrac{1}{r} $$

 

olur. Bu durumda küremizin yarıçapı $R$ yi $\infty $ a götürürsek

 

$$\lim_{R\to\infty}  \dfrac {1}{ 4 \pi \epsilon_0} \dfrac{Q}{R^{2}} = 0 $$

 

olur, yani, yük yoğunluğu $r^{-1}$ olan $Q$ yüklü cisim evreninin tümünü kaplasa da $\vec{E}$ alanı üretemez.
(156 puan) tarafından 
20,200 soru
21,726 cevap
73,275 yorum
1,887,832 kullanıcı