Yarıçapı $R$, yükü $Q$ olan kürenin yük yoğunluğu $\rho$ $SO(3)$ simetrisine sahip ve $\rho(r) = A r^N$ dir. Bu kürenin içerisinde elektrik alan sabit olması için $N$ ne olmalıdır? ($A$ sabit )

Question

Çözüm için,

 

$A$ sabiti için,

$$Q = \int_0^R \rho(r)  d^3 \vec{r}$$

yı

Gauss Yasası'ndan $\vec{E}$ yi hesaplamak için,

$$\oint \vec{E}  \cdot d^2 \vec{r} = \dfrac {1}{\epsilon_0}  Q_{iç}$$

yi

Gauss yasasındaki $Q_{iç}$ için de   

 

$$Q_{iç} = \int_0^r \rho(r')  d^3 \vec{r}'$$

 

kullanabilriz.

Answer 1

Küresel simetriden dolayı

 

$$d^3 \vec{r} = 4 \pi r^2 dr$$

 

olarak denklemlere yerleştirirsek,

 

A sabitini

 

$$Q = \int_0^R \rho(r)  4 \pi r^2  dr$$

 

$$Q = \int_0^R A r^{N}  4 \pi r^2  dr$$

 

$$Q = A 4 \pi  \int_0^R  r^{N+2}  dr$$
 

$$Q = A 4 \pi    \dfrac{R^{(N+3)}}{N+3}$$

 

den

 

$$A =   \dfrac{(N+3)Q}{ 4 \pi R^{(N+3)}}$$

 

olur.

 

Gauss Yasasında kullanmak için $Q_{iç}$,

 

$$Q_{iç} = \int_0^r  A (r')^{N} \pi  (r')^2 d (r')$$

 

$$Q_{iç} = \dfrac{(N+3)Q}{ 4 \pi R^{(N+3)}}  4 \pi \int_0^r   (r')^{N+2}   d (r')$$

 

$$Q_{iç} = \dfrac{(N+3)Q}{  R^{(N+3)}}      \dfrac {r^{N+3}}{N+3}$$

 

$$Q_{iç} = Q  \dfrac {r^{N+3}}{R^{(N+3)}}$$

 

olur.

 

Şimdi Gauss Yasasını uygulayalım,

 

$$\oint \vec{E}  \cdot d^2 \vec{r} = \dfrac {1}{\epsilon_0}  Q_{iç}$$

 

$$\vec{E} (r)  4 \pi r^2 = \dfrac {1}{\epsilon_0}  Q  \dfrac {r^{N+3}}{R^{(N+3)}}$$

 

$$\vec{E} (r)   = \dfrac {1}{ 4 \pi \epsilon_0} \dfrac{Q}{R^{(N+3)}}    r^{N+1}$$

 

olur.
 

$\vec{E} (r)$ ın sabit olması için

 

$r^{N+1}$  de  $N = -1$ olmalıdır.

 

Bu durumda $\vec{E} (r)$ ,

 

$$\vec{E} (r) = \dfrac {1}{ 4 \pi \epsilon_0} \dfrac{Q}{R^{2}}$$

 

olur.

 

Peki yük yoğunluğu $\rho (r)$ fonksiyonu,

 

$$\rho (r) = A \dfrac{1}{r}$$

 

olur. Bu durumda küremizin yarıçapı $R$ yi $\infty$ a götürürsek

 

$$\lim_{R\to\infty}  \dfrac {1}{ 4 \pi \epsilon_0} \dfrac{Q}{R^{2}} = 0$$

 

olur, yani, yük yoğunluğu $r^{-1}$ olan $Q$ yüklü cisim evreninin tümünü kaplasa da $\vec{E}$ alanı üretemez.