Diferansiyel Denklemlerin Basitten Zora Doğru Sıralanması ve Kıyaslanması

Question

Diferansiyel denklemleri basitten zora doğru maddeler halinde ve her bir madde için örnek vererek kıyaslayarak sıralayınız. 

Aşağıdaki şekilde düşündüm: 

1. Adi diferansiyel denklemler kısmi diferansiyel denklemlere göre daha kolay çözülürler.
2. Düşük mertebeli diferansiyel denklemler, yüksek mertebeli diferansiyel denklemlere göre daha kolay çözülürler. 
3. Homojen diferansiyel denklemler homojen olmayan diferansiyel denklemlere göre daha kolay çözülürler.

Bunlara örnek de verilebilir. 

İstenen yaklaşım bu şekilde mi olmalı, emin olamadım. İsteneni doğru anlamış mıyım acaba? 

 

Comments

Differansiyel denklemleri "basitten zora doğru sıralamak" tam mümkün değil. Daha doğrusu böyle bir ifade ile diferansiyel denklemler incelenmiyor. Belki şu şekilde bir tasnif işine yarabilir. 

1. Bağımsız değişkenlerin sayısına bağlı: Bunun altında iki başlık alabiliriz.  Birincisi Adi Diferansiyel Denklemler (Ordinary Differential Equations) Örneğin, sadece tek bir bağımsız değişkeni olan $x(t)$, $Q(p)$ gibi. İkincisi Kısmi Diferansiyel Denklemler (Partial Differential Equations) Örneğin, birden daha fazla bağımsız değişkeni olan $u(x,t)$, $r(t,x,y,z)$ gibi.
2. Bağımlı değişkenin sayısına bağlı: Bunu da iki başlık altında inceleyebiliriz. Birincisi Tekil Differansiyel Denklemler (Single Differential Equations). İkincisi Differansiyel Denklem Sistemleri (System of Differential Equations)
3. Bağımlı değişkenin formlarına bağlı: Bunu da iki başlıkta verebiliriz. Birincisi Lineer Diferansiyel Denklemler (Linear Differential Equations) Örneğin, $y''+xy=0$ ya da $y'=\arctan x$ gibi. İkincisi Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemler (Non-Linear Differential Equations) Örneğin, $t^2x''+\sqrt{t}x'+x^2=0$ ya da $yy'+5x=\sin y$
4. Mertebesine bağlı: Verilen differansiyel denklemde bulunan en yüksek dereceli türeve göre isimlendirilir. Örneğin, 5. mertebeden $f^{(5)}(t)+f''(t)=t$ ya da 3.mertebeden $y'''+y''+y'+y=x^2+\tan x $ gibi.

Bunların dışında yine homojen ve homojen olayan ya da otonom ve otonom olmayan diye isimlendirilen diferansiyel denklemlere de rastlayabiliriz. Ama bu isimlendirmelerin hepsini bilmek şart değildir. Mühim olan denklemin çözüm yöntemidir. Buna bağlı olarak, klasifikasyon sonradan ortaya çıkıyor. Yani, zaman içerisinde muktezayı hale mutabık daha farklı isimlerle de karşılaşabiliriz. En başında da belirttiğim gibi, zorluk ve kolaylık durumuna göre bir sınıflandırma tam doğru olmayabilir.

---

Bence bunu cevap olarak yazarsanız güzel olur.

Answer 1

Aşağıdaki gibi bir sıralama izlenebilir. Bu, soruda istenene daha uygun olabilir.

​​​​​​

1. Ayrıştırılabilir Form (Seperable Differential Equation)

$\frac{dy}{dx}=\frac{g(x)}{f(y)}$ şeklinde ifade edilebilir. Örnek, $y'+y^2\sin x=0$

 

2. Homojen Form (Homogenous Differential Equation)

$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ şeklinde ifade edilebilir. Burada dikkat edilmesi gereken husus $f(x,y)$'nin $\frac{x}{y}$ ya da $\frac{y}{x}$ yapısına getirilebilir olması önemlidir. Şayet $c \in \mathbb{R}-\{ 0\}$ için $x\rightarrow cx$ ve $y \rightarrow cy$ dönüşümüyle denkleme tekrardan yazıldığında orijinal denkleme ulaşabilmemiz gerekmektedir.

$\frac{dy}{dx}=\frac{x+3y}{x-y}$

 

3. Birinci Dereceden Lineer Form (First Order Linear Equation)

Genel yapısı $y'+p(x)y=q(x)$ gibidir. Denklemin çözümü için her iki taraf integrating factor ile çarpılır $\mu(x)$.

$y'-2y=3e^x$

 

4. Tam Form (Exact Differential Equation)

$N(x,y)dy+M(x,y)dx=0$ formunda olup, $\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial M}{\partial y}$ şartı sağlanıyorsa exact diferansiyel denklem olur.

$(6xy+2y^2-5)dx+(3x^2+4xy-6)dy=0$

 

5. İkinci Dereceden Lineer Form (Second Order Linear Equation)

Genel form $y''=F(t,y,y')$ şeklindedir.

$y''+y'=e^t, \quad y''=y(y')^3=0, \quad ay''+by'+cy=0$

 

6. Yüksek Mertebeden (Higher Order Equation)

Örnek verecek olursak,

$y'''+y''-4y'-4y=x+7+5e^{-x}$

 

7. Linear Sistem Form (System of Linear Equation)

Örnek verecek olursak,

$x_{1}^{'}=-2x_1+x_2$ 

$x_{2}^{'}=-5x_1+4x_{2}$

 

8. Partial Differential Equation (Kısmi Differansiyel Denklem)

Örnek verecek olursak, $u(x,t)$ fonksiyonu için aşağıdaki gibi bir denklem örnek verilebilir.

$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

Answer 2

Differansiyel denklemleri "basitten zora doğru sıralamak" tam mümkün değil. Daha doğrusu böyle bir ifade ile diferansiyel denklemler incelenmiyor. Belki şu şekilde bir tasnif işine yarabilir. 

1. Bağımsız değişkenlerin sayısına bağlı: Bunun altında iki başlık alabiliriz.  Birincisi Adi Diferansiyel Denklemler (Ordinary Differential Equations) Örneğin, sadece tek bir bağımsız değişkeni olan $x(t)$, $Q(p)$ gibi. İkincisi Kısmi Diferansiyel Denklemler (Partial Differential Equations) Örneğin, birden daha fazla bağımsız değişkeni olan $u(x,t)$, $r(t,x,y,z)$ gibi.

2. Bağımlı değişkenin sayısına bağlı: Bunu da iki başlık altında inceleyebiliriz. Birincisi Tekil Differansiyel Denklemler (Single Differential Equations). İkincisi Differansiyel Denklem Sistemleri (System of Differential Equations)

3. Bağımlı değişkenin formlarına bağlı: Bunu da iki başlıkta verebiliriz. Birincisi Lineer Diferansiyel Denklemler (Linear Differential Equations) Örneğin, $y''+xy=0$ ya da $y'=\arctan x$ gibi. İkincisi Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemler (Non-Linear Differential Equations) Örneğin, $t^2x''+\sqrt{t}x'+x^2=0$ ya da $yy'+5x=\sin y$

4. Mertebesine bağlı: Verilen differansiyel denklemde bulunan en yüksek dereceli türeve göre isimlendirilir. Örneğin, 5. mertebeden $f^{(5)}(t)+f''(t)=t$ ya da 3.mertebeden $y'''+y''+y'+y=x^2+\tan x $ gibi.

Bunların dışında yine homojen ve homojen olayan ya da otonom ve otonom olmayan diye isimlendirilen diferansiyel denklemlere de rastlayabiliriz. Ama bu isimlendirmelerin hepsini bilmek şart değildir. Mühim olan denklemin çözüm yöntemidir. Buna bağlı olarak, klasifikasyon sonradan ortaya çıkıyor. Yani, zaman içerisinde muktezayı hale mutabık daha farklı isimlerle de karşılaşabiliriz. En başında da belirttiğim gibi, zorluk ve kolaylık durumuna göre bir sınıflandırma tam doğru olmayabilir.