Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
17.5k kez görüntülendi

Lineer diferansiyel denklem, bağımlı değişkeninin tüm türevlerinin 1. dereceden olduğu diferansiyel denklemdir.

Diğer bir deyişle

$a_0(t)y^{(n)}+a_1(t)y^{(n-1)}+a_2(t)y^{(n-2)}+\cdots +a_n(t)y=g(t)$

şeklinde yazılabilen tüm diferansiyel denklemler lineerdir.

Buraya kadar sorun yok...

Ama eğer $0\leq m \leq n$ olacak şekilde $a_m(t)=y$ oluyorsa... Bu terimlerden birini 2. dereceden yapıp denklemi lineer olmaktan çıkarmaz mı, çıkarmazsa neden çıkarmaz?

Lisans Matematik kategorisinde (2.9k puan) tarafından  | 17.5k kez görüntülendi

Goruldugu gibi katsayilar $"t" $ nin fonksiyonu.. Tanim geregi $a_m(t)=y$ olamaz..

Hocam $y$ de $t$'nin fonksiyonu değil mi? Tanımdan kasıt, neyin tanımından?

Evet, $y$ de $t$ nin fonksiyonu dogru ama katsayilar sadece $t$ nin fonksiyonu lineer diferansiyel denlemler tanimindan, aksi halde lineer olmaz..

Ben bir noktayı kaçırıyor muyum? Diyelim ki $y=3t^2+t$ olsun. $(3t^2+t)y'+y=5t$ diferansiyel denklemi lineer olur mu?

Senin dedigin tabi ki lineer dif denk. katsayi t'ye bagli bir polinom, derecesi onemli degil, tanimda onu soyluor zaten..

Euler dif. denk. gordun mu sen hic. O bir lineer dif denk dir.. 

lineer olmayan dif denk ornekleri

$y^{'''}+\boxed{y y^{'}}+2y=0$

$y^{'''}+\boxed{{(y^{'})}^2}+2y=0$

$y^{'''}+\boxed{y^2 y^{''}}+2y=0$

$y^{'''}+2t\boxed{y y^{''}}+2t^2y{'}=0$

Görmemiştim, şimdi öğrenmiş oldum hocam :) Sonuç olarak anladığım fonksiyon $t$ cinsinden gösteriliyorsa sorun yok.

Ben yanlış yaptığım yeri şimdi anladım. Nedense, $y$ fonksiyonunu biliyormuşuz gibi davranıp, $a_m(t) $'yi $y$ cinsinden yazabileceğimiz yanılgısına kapılmışım. Çok teşekkürler hocam anladım şimdi.

$y=3t^2+t$ olsun yanlis bir yaklasim.. $a_n(t)=3t^2+2$ demelisin..

Genel olarak $n$. dereceden homojen olmayan dif denk su sekilde yazilir.


$p_n(t)y^{(n)}(t)+p_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\dots+p_2(t)y^{''}(t)+p_1(t)y^{'}(t)+p_0(t)y(t)=f(t)$


Buradaki $p_n(t)$ ler surekli $ \underline{fonksiyon}$dur, (polinom demedim)


yani suda $y^{''}+2ty^{'}-\ln(t)y=f(t)$  2. dereceden lineer dif denktir


Sonradan yanlışlığını ve neden yanlış olduğunu anladım hocam. Emekleriniz için çok teşekkürler.

Rica ederim..

19,771 soru
21,456 cevap
72,116 yorum
425,413 kullanıcı