$f(x)=x^x$ ın tersi nedir?

Question

$f(x)=x^x$ ise fonksiyonun tersi nedir?

Comments

$x\longmapsto log_x x$ ilk akla gelen ama olmuyor değil mi?

---

Aynen bende onu denedim ama olmuyor yalnız bırakamadım x i

---

zaten o sabit 1 fonksiyonu :)

---

Yok benim söylemek istediğim o değil

y=x^x

lny=xlnx

bundan sonrasında x i yalnız bırakamıyom onu söylemek istedim

---

Bu fonksiyon 1-1 mi?

---

Evet bire bir örten olduğu bir aralığı belirtmiş ise?

---

Aralığı belirtmek de pek işe yaramaz.

$f(x)=x^5+x$ in bile tersini  (sonlu bir formül kastediyorum)  "bulamayız"

(basit sonlu bir formül yazamayız anlamında)

$\sin $ fonksiyonun "tersini" bile "bulamıyoruz".

Beceriksizlikten değil, istediğimiz gibi, basit sonlu sayıda işlem ile bulunan bir formülü olamadığı için.

---

Anladim hocam tesekkur ederim

---

Peki bunun cevabını basit bir biçimde bulamayacağımızı nasıl gösterebiliriz Doğan hocam?

---

@Safak  $f(x)$ fonksiyonun $(0,\infty)$ araliginda  tersi olmadigini gostermek kolay aslinda.

$f'(x)=x^x(1+\ln(x))=0\implies x=\frac1e$ kritik noktadir.

 

$\begin{array}{c|cccc}
f' &0&-- &\frac1e& ++ \\\hline
 f &&\searrow&  & \nearrow \\
\end{array}
$

 

Burdan  $x=\frac1e$ min noktasi cikar. Yani $f(x) $ verilen tanim araliginda monoton artan degil, yani  $f(x) $ bire bir degil, yani $f(x) $ in tersi yok.

 

Not: Bu fonksiyonun $(0,\frac1e)$ araliginda  ve $(\frac1e,\infty)$  (sirasiyla azalan ve artan oldugundan) bire birdir. Yani bu araliklarda tersi vardir diyebiliriz. Tersi vardir demek tersini bulabilecegimiz anlamina gelmez. Bazi durumlarda bu mumkun degil. Kubik polinomlar da bile tersi bulmak cok zor, var oldugunu bildigimiz halde.

---

$$f(x)=x^x$$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonu -OkkesDulgerci'nin de belirttiği üzere- $\left(0,\frac{1}{e}\right)$ aralığı üzerinde azalan olduğundan birebirdir. Dolayısıyla $$\lim\limits_{x\to 0^+}x^x=1$$ olduğundan $f$ fonksiyonunun hedef kümesi $\left(f\left(\frac{1}{e}\right),1\right)$ aralığı olarak alınırsa $f$ fonksiyonu aynı zamanda örten olur. O halde

$$f(x)=x^x$$ kuralı ile verilen $$f:\left(0,\frac{1}{e}\right)\to \left(f\left(\frac{1}{e}\right),1\right)$$ fonksiyonu birebir ve örten olacağından tersi vardır.

 

Benzer şekilde $$f(x)=x^x$$ kuralı ile verilen $$f:\left(\frac{1}{e},\infty\right)\to \left(f\left(\frac{1}{e}\right),\infty\right)$$ fonksiyonu da birebir ve örten olacağından tersinin var olduğu söylenebilir.

---

Örten olduğu aralığı nasıl anladık? O kısmı yaza bilirmisiniz hocam?

---

$a\leq b$ ve $c\leq d$ ise $a^c, b^d$ değerleri arasında nasıl bir ilişki vardır, ve bunu sorduğun son soru için nasıl kullanabilirsin?

 

yazabilir misiniz yazılır, misiniz kısmı ek.

---

Ne dediğinizi tam olarak anlamadım daha açıklayıcı bir biçimde yazabilir misiniz?

---

Örten fonksiyonda bildiğim üzere değer kümesinde boşta eleman kalmamalı

hoca soruda limitle ilgili birşeyle yazmış o kısmı anlamadım

Answer 1

Kısa cevap: Ters fonksiyonun basit (sonlu=Açıklaması aşağıda) bir formülü olamaz.

Açıklaması:

Bu soruya "elementer" bir cevap vermek herhalde mümkün değil.

Benim cevabım biraz ileri Lisans düzeyinde (aslında sadece elementer fonksiyon kavramı o düzeyde) olacak.

$g(x)$ bu fonksiyonun tersi olsun.

$g(x)^{g(x)}=x$ olur.

$g(e^x)^{g(e^x)}=e^x$

$g(e^x)\ln(g(e^x))=x$ olur. $W(x)=\ln g(e^x)$ olsun.

O zaman $W(x)e^{W(x)}=x$ olur.

Bu da $W(x)$ in (bir) Lambert fonksiyonu ($xe^x$ in ters fonksiyonu) olması demektir.

(edit: burada $g(x)$ yerine $f(x)$ yazmışım. Düzelttim)

$g(x)$ elementer ise, $W(x)$ de elementer olur.

(elementer fonksiyon: (Vikipedi  den) Matematikte temel (elementer) fonksiyon, tek bir değişken, üs, logaritma, sabit ve n.kökten oluşan ve dört temel işlemin (+ – × ÷) bileşkesi ve kombinasyonu kullanılan fonksiyondur. Bu fonksiyonlar (ve ), reel sayılardan oluşan trigonometrik fonksiyonlar ve terslerinden de olabilir . )

Ama Lambert fonksiyonunun elementer olmadığı biliniyor 

(Wikipedia) (Türkçe sayfası da var ama orada  elementer olmadığı belirtilmemiş, seriye açılımı var.)

(Ek) Öyleyse, $f(x)$ in tersi bir elementer fonksiyon olamaz.