$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x)}{2x^2}=?$

Question

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(\cos x)}{2x^2}=?$  limitini türev kullanmadan bulunuz.

Benzer soru için tıklayınız

Answer 1

$$f(x):=\ln (\cos x)$$  ve  $$g(x):=2x^2$$ kuralı ile verilen $f$ ve $g$ fonksiyonlarını göz önüne alalım.

1) $f$ ve $g$ fonksiyonları $(0,\frac{\pi}{2})$'de türevlenebilir

2) her $x\in (0,\frac{\pi}{2})$ için $g'(x)=4x\neq 0$ ve 

3) $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}g(x)=0$

koşulları sağlanır. O halde bu linkteki L'Hospital Kuralı II gereğince

$$\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\frac{-\sin x}{\cos x}}{4x}=\frac{-1}{4}\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}\frac{1}{\cos x}=-\frac{1}{4}$$ olduğundan

$$\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{g(x)}=-\frac{1}{4}$$ olur.

Comments

Murat Hocam çözümüzü ayrı bir soru olarak sormamız gerekir. 

Benzer soru

---

Alper hocam yorumunuzun nedenini anlayamadım.