Question

$\lim\limits_{x\to 0} \left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin^2x}\right)$

Hopital kullanınca uzun sürüyor.Kısa çözümünü göremedim.

Answer 1

$\sin^2x-x^2=(x-\frac{x^3}6+\cdots)^2-x^2=-\frac{x^4}3+\cdots,\quad x^2 \sin^2x=x^4+\cdots$ dan

$\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac1{x^2}-\frac1{\sin^2x}\right)=-\frac13$ bulunur.

Comments

Hocam $sin(x)=x-\frac{x^6}{3}....)$ şeklinde açılımı olduğunu Taylor Serisinden mi biliyoruz?

---

Evet. (en azından) Matematik bölümlerinde Lisans düzeyi matematik (Analiz) derslerinde ispatlanmalı.

 Ben, bugün derste, ispatlayacağım.

---

İlginize çok tesekkur ederim hocam.$sin(x)$ ifadesinin Taylor acilimi ile ilgili pek bilgisi olmayanlar için http://m.youtube.com/watch?v=dp2ovDuWhro adresinde güzel bir aciklamasi mevcut.