Ardışık terimleri arasındaki oranı sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Buna göre; $a =$ ilk terim, $r =$ ortak çarpan, $n=$ terim sayısı, $S_{n}=$ de ilk $n$ terimin toplamı olsun. Sonlu geometrik serilerde; $S_{n} = a + ar + ar^{2} + ... + ar^{n-1}$ dir. Eşitliği $-r$ ile çarpıp alt alta toplarsak; $$S_{n} = a + ar + ar^{2} + ... + ar^{n-1} \\ -r.S_{n} = \:\:\:\:\:-ar - ar^{2} - ... - ar^{n-1} - ar^{n} \\ +------------------ \\ S_{n} -rS_{n} = a - ar^{n} \\ S_{n}(1-r) = a(1-r^{n}) \\ S_{n} = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}$$ toplam şeklinde gösterirsek eğer; $\sum_{k=0}^{n}ar^{k} = \frac{a-ar^{n+1}}{1-r}$. Şimdi sonsuz olarak göstermeyi deneyelim. $n \to \infty$ için incelersek; $\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n} = \lim_{n \to \infty}\frac{a-ar^{n+1}}{1-r}$ dir. $n \to \infty$ için bu ifadenin limiti nedir? $|r| \gt 1$ olduğu durumda üstel ifade devasa şekilde büyür. Üstel ifade büyüdüğünden $a - ar^{n+1}$ de büyür. $r = 0$ olursa geometrik seri olmaz. O hâlde $0 \lt |r| \lt 1$ için; $n \to \infty$ de $ar^{n+1}$ hızla küçülür. Yani sıfır'a yaklaşır. $\lim_{n \to \infty}\frac{a-ar^{n+1}}{1-r} = \frac{a}{1-r}$ olur. Soruya geçersek... Toplam; $1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+\: . \: . \: .$ toplamı $\frac{1}{2^{n}}$ şeklinde yeniden yazarsak; $$\frac{1}{2^{0}}+ \frac{1}{2^{1}}+ \frac{1}{2^{2}}+\: . \: . \: .$$ şeklinde olur. $\frac{\frac{1}{2^{0}}}{1- \frac{1}{2}} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}}$ dir.
Ayriyeten $$\sum_{n=k}^{\infty}r^{n} = \begin{cases} \frac{r^{k}}{1-r}, -1\lt r\lt 1 \\\\ iraksak, aksi taktirde \end{cases}$$ olduğunu biliyoruz, $r = 1/2$ ve $k =0$ için yine aynı şey olurdu.