Ardışık terimleri arasındaki oranı sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Buna göre; a= ilk terim, r= ortak çarpan, n= terim sayısı, Sn= de ilk n terimin toplamı olsun. Sonlu geometrik serilerde; Sn=a+ar+ar2+...+arn−1 dir. Eşitliği −r ile çarpıp alt alta toplarsak; Sn=a+ar+ar2+...+arn−1−r.Sn=−ar−ar2−...−arn−1−arn+−−−−−−−−−−−−−−−−−−Sn−rSn=a−arnSn(1−r)=a(1−rn)Sn=a(1−rn)1−r toplam şeklinde gösterirsek eğer; ∑nk=0ark=a−arn+11−r. Şimdi sonsuz olarak göstermeyi deneyelim. n→∞ için incelersek; limn→∞∑nk=0=limn→∞a−arn+11−r dir. n→∞ için bu ifadenin limiti nedir? |r|>1 olduğu durumda üstel ifade devasa şekilde büyür. Üstel ifade büyüdüğünden a−arn+1 de büyür. r=0 olursa geometrik seri olmaz. O hâlde 0<|r|<1 için; n→∞ de arn+1 hızla küçülür. Yani sıfır'a yaklaşır. limn→∞a−arn+11−r=a1−r olur. Soruya geçersek... Toplam; 1+12+14+... toplamı 12n şeklinde yeniden yazarsak; 120+121+122+... şeklinde olur. 1201−12=11−12 dir.
Ayriyeten ∞∑n=krn={rk1−r,−1<r<1iraksak,aksitaktirde olduğunu biliyoruz, r=1/2 ve k=0 için yine aynı şey olurdu.