Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
523 kez görüntülendi
$\lim\limits_{t\to 0} (1+t)^{\frac1t}=?$
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 523 kez görüntülendi

$t=\frac1x$ donusumu yapilirsa 


$\lim\limits_{x\to \infty} (1+\frac1x)^x=e$


olur.

Neden $$\lim\limits_{x\to \infty} (1+\frac1x)^x=e$$ olur?

$$e:=\lim\limits_{x\to \infty} \Big(1+\frac1x\Big)^x\quad QED$$

$e:=\lim\limits_{n\to \infty} \Big(1+\frac1n\Big)^n$ şeklinde tanımlıyorum. Bu durumda da $$\lim\limits_{n\to \infty} \Big(1+\frac1n\Big)^n=\lim\limits_{x\to \infty} \Big(1+\frac1x\Big)^x$$ olduğunu göstermemiz gerekir.

 Onu göstermek için $\left(1+\frac1x\right)^x$ fonksiyonun, $[1,+\infty)$ aralığında artan olması yeterli mi? (Ama türev kullanarak)

Ben de onu dusunuyordum hocam. Monoton artan oldugu gosterilebilir. Dizi fonksiyonlari ile alakali, yanlis hatirlamiyorsam, bir teorem vardi burda kullanabilicegimiz. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$y=(1+x)^{\frac 1x}$ diyelim.

$lny=\frac 1x.ln(1+x)$ 

$\lim\limits_{x\to 0}lny=\lim\limits_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}$  olup bu $\frac 00$ belirsizliğindedir.

L'Hospital ile 

$\lim\limits_{x\to 0}lny=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{1+x}=1$  Dolayısıyla $lny=1\Rightarrow y =e$ ve $\lim\limits_{x\to 0}y=\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac 1x}=\lim\limits_{x\to 0}e=e$  olacaktır.

(19.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,237 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,047,882 kullanıcı