Eşitlikler arası geçiş nasıl olmuş ?

Question

Soruda rezidü hesaplıyorum ve sorunun cevabını reel bulmam gerekli. Soru şu

$Res(\dfrac {z^{\alpha -1}}{z+1},-1) =\lim _{z\rightarrow -1}z^{\alpha -1}=\left( -1\right) ^{\alpha -1}$ 

$\left( -1\right) ^{\alpha -1} = e^{i\pi \cdot \left( \alpha -1\right) }$ olarak yazdım.

Sormak istediğim geçiş şurada : 

$\dfrac {2\pi i}{1-e^{2\pi i\alpha }}\cdot e^{i\pi \left( \alpha -1\right) } = \dfrac {2\pi i}{e^{i\pi \alpha }-e^{-i\pi \alpha }}=\dfrac {\pi }{\sin \left( \pi \alpha \right) }$

                $(1)$                        $(2)$                     $(3)$

$2-3$ geçişini anladım fakat $1-2$ arasını nasıl öyle yazabildi anlayamadım.Neyi gözden kaçırıyorum?

Comments

Tam olarak hesaplamadım ama ilk bakışta üslü sayılarla işlem yapmaktan başka bir şey değil gibi gözüküyor. 

Paydayı $e^{i \alpha \pi}$ parantezine almayı denedin mi?

---

hocam bilgisayarda değilim en kısa zamanda geçtiğimde yaptıklarımı yazıcam ama ben bir şey elde edemedim. e^i. pi.alfa /e^i. pi. yazdım

paydada olanları çarptım ama bir şey bulamadım 

Answer 1

$e^{i\pi }=-1$

$\dfrac {2\pi i}{1-e^{2\pi i\alpha }}\cdot \dfrac {e^{i\pi \alpha }}{e^{i\pi }}=\dfrac {2\pi i}{e^{2\pi i\alpha }-1}\cdot e^{i\pi \alpha }$ burada $e^{i\pi \alpha }$yı paydaya atabilirsiniz.

$\dfrac {e^{2\pi i\alpha }-1}{e^{i\pi \alpha }}=\dfrac {\left( e^{i\pi \alpha }\right) ^{2}}{e^{i\pi \alpha }}-\dfrac {1}{e^{i\pi \alpha }}=e^{i\pi \alpha }-e^{-i\pi \alpha }$ , Pay kısmında $2\pi i$ mevcut o halde eşitliği şu hale getirebildik $\dfrac {2\pi i}{e^{i\pi \alpha }-e^{-i\pi \alpha }}$