Karmaşık sayıların iki tanımı var. Litaratürde informal tanım ve formal tanım olarak geçiyor.
İnformal tanım, tarihi gelişim süreci içerisinde ilk kullanılan tanımdır. $a,b$ gerçel sayılar ve $i=\sqrt{-1}$ olmak üzere $a+ib$ biçimindeki sayılara karmaşık sayı denir. Bu arada, bazen informal tanımda $i^2=-1$ oluşu da ekleniyor. Yani, ''karesi $-1$ olan sayıyı $i$ olarak tanımlıyoruz'' demek istenmektedir.
Lise matematik eğitimi içinde konuya bu şekilde giriş yapmak öğrenme açısından kolaylık sağladığı için pedagojik olarak uygundur. Öte taraftan biraz üzerinde düşündükçe bu tanımın ne dediği pek de açık değildir. Bununla beraber konu ilerledikçe $z \neq 0$ karmaşık sayısı için $\sqrt{z}$ nin iki farklı değeri olduğunu da öğretmeye başlıyoruz. Bu fikirle $\sqrt{-1}$ de iki farklı değere sahip olduğundan kafa karışıklıklarını da beraberinde getiriyor. $\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} $ ifadesi ile iki farklı değeri olan iki ifadeyi çarpmış oluruz ki buradan da çok değerli bir ifade gelebilir. $\sqrt{z}$ için $\sqrt{z}$ değerlerinden esas argümentini $0 \leq \theta \leq \pi $ aralığında seçiniz gibi bazı kısıtlamalar getirilerek (yani bir tanımlama daha yapılarak) bu sorun gideriliyor. $\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} $ tek değerli ve $-1$'e eşit olarak hesaplanmış oluyor. Esas argüment ile ilgili Ali Nesin bey'in burada açıklaması var. Öte taraftan Doğan Dönmez bey'in de şurada karşı açıklaması var. Bu soruya benzer bir soru daha önce bu bağlantıda sorulmuştu. Orada yazdığımız açıklamaları da okuyabilirsiniz.
Bir de Formal tanım var. Bu da $\mathbb R ^2$ üzerinde bir toplama ve çarpma işlemi tanımlanarak bir cebirsel yapı kuruluyor. $(a,b), (c,d) \in \mathbb R^2$ olmak üzere
$$ (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)$$
$$ (a,b)\cdot (c,d) = (ac-bd, ad+bc)$$
işlemleri tanımlansın. $(\mathbb R^2, +, \cdot )$ cebirsel yapısına karmaşık sayılar kümesi denir. Sana birim olarak isimlendirilen $i=(0,1)$ elemanı ve $1=(1,0)$ kısaltması tanımlanır. $a, b \in \mathbb R$ için $(a,b) = (a,0) + (0,b) = a(1,0) + b(0,1)= a+ib $ gösterimine ulaşılır. Böylece sizin merak ettiğiniz
$$ i^2 = i\cdot i = (0,1)\cdot (0,1) = (-1,0) = -1$$
eşitliği elde edilir.
Matematiği sezgisel olarak yapmamak için, aksiyomlara, tanımlara dayandırarak güvenli biçimde ilerleyebilmek için Formal tanım geliştirilmiştir. Tanımlarla ilgili buraya bakabilirsiniz.
Hangi işlemler karmaşık sayılar kümesinde tanımlıdır? wikipedia'da da belirtildiği gibi, logatirma, üstel, köklü ifadeler tanımlıdır. Trigonometrik fonksiyonlar da tanımlanmıştır. Tüm bunların bazıları çok değerlidir, bazıları tek değerli ifadelerdir. Bu işlemlerin/fonksiyonların tek değerli sonuç vermesi istenirse esas argüment gibi bazı kısıtlamalar yapılabiliyor.