Tersinir matrislerde ispat

Question

A ve B iki tersinir matristir. A+B matrisi de tersinir midir? 

Tersinir olmadığını birkaç matrisle farkettim 2x2lik matrislerde. Ancak bir ispat olarak düzenleyemiyorum yani soyutlayamadım. Yardımcı olursanız :)))

Comments

Toplami sifir olan iki tersinir matris bulabilir misin?

---

Yani aslında bi satırı sıfırlamak yetiyor toplamda 

3	0
0	2

 ve 

0	-3
-2	0

   örneği sağlıyor ama dediğim gibi soyut bi dile genelleştiremiyorum

---

bu ikisinin toplami sifir degil? senin sorun icin bir ornek ama.

---

Aslında çokça örnek var. Sorun bu değil. Örnek üzerinden gitmek istemiyorum Anlaşıldım mı :))

---

Ispat yapmanin bir yolu da bir tane karsit ornek bulmaktir..

---

Evet haklısınız zaten sorun da bu.

---

$A=\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 0 & 2 \\
\end{array}
\right)$,  ve $B=\left(
\begin{array}{cc}
 0 & -3 \\
 -2 & 0 \\
\end{array}
\right)$ olsun. $A$ ve $B$  matrisleri tersinirdir (goster bunu, determinant sifir degil ise tersinirdir).

Fakat $A+B=\left(
\begin{array}{cc}
 3 & -3 \\
 -2 & 2 \\
\end{array}
\right)$ tersinir degildir (goster bunu, determinant sifir ise tersinir degildir.)

---

@Okkes: her $n$ icin bulmak istiyor?

@mdj: genellestirebilmen icin dedim.
(1) Iki matris al ve toplami sifir olsun? Bunlarin iliskisi ne olur?
(2) Ikisi de tersinir ise sonuc da tersinir olmadigindan karsit ornek bulursun.
(3) Bu ikisini (aslinda birini) her $n$ icin tanimlayabilecegin basit bir ornek secersen is biter.

---

@Sercan dikkat etmemisim. En kolay ornek kosegen matrislerle olur sanirsam. Kosegen elemanlari sifirdan farkli olan bir $n\times n$  $A$ matrisi al. Determinanti kosegen elemanlarinin carpimi olacaktir, dolayisiyla sifirdan farkli ve dolayisiyla tersinirdir. $B$ ise bunun negatif ile carpilmisi olsun. Dolayisiyla toplami sifir matrisi olur ve tersi yoktur.. Aslinda $B$ nin sadece kosegendeki bir elamanin ters isaretli omasi yeterli, $A+B$ kosegen matrisinin kosegen uzerindeki bir elemani sifir ise determinani sifir olacaginda, tersi yoktur.

---

Direkt olarak

$A = I$ olsun $B=-I$ olsun desek?

Ya da $A$ tersinir olmak üzere $B = -A$ alsak?

---

Benim cozumun ozel hali yani, neden komplike yapmaya calisiyorsak :)

Answer 1

Sav yanlistir.

Teorem: $A_{n\times n}$ kare matrisi tersinirdir ancak ve ancak $\text{Det}(A)\neq0$

$A $ ve $B$ $\quad n\times n$ tersinir matrisler olsun. $k_i\neq0\quad \forall \, i=1,2,\dots,n$ olmak uzere

$A=\left( \begin{array}{cc}  k_1& &&0 \\   & k_2 \\& &\ddots\\0&&&k_n \end{array} \right)$

  ve

$B=\left( \begin{array}{cc}  -k_1& &&0 \\   & k_2 \\& &\ddots\\0&&&k_n \end{array} \right)$   kosegen matrislerini tanimlayalim.

$\text{Det}(A)=k_1k_2\cdots k_n\neq0 \implies A$ tersinirdir. Ayni sekilde,

$\text{Det}(B)=-k_1k_2\cdots k_n\neq0 \implies B$ tersinirdir.

Fakat $A+B=\left( \begin{array}{cc}  k_1& &&0 \\   & k_2 \\& &\ddots\\0&&&k_n \end{array} \right)+\left( \begin{array}{cc}  -k_1& &&0 \\   & k_2 \\& &\ddots\\0&&&k_n \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}  0& &&0 \\   & 2k_2 \\& &\ddots\\0&&&2k_n \end{array} \right)$

$\text{Det}(A+B)=0\cdot2k_2\cdots 2k_n=0 \implies A+B$ tersinir degildir.