Integral

Question

F(x)= $\int_{3x+2}^{x^2+4}$ $\frac{t^3-5t^2+60}{t^2+5}$ Dt ise f'in türevi 1=?

Answer 1

$x=1$ iken $(3x+2)=5, (x^2+4)=5, (3x+2)'=3$ ve $(x^2+4)'=2$ olur. Alt ve üst sınırlar burada eşitler, türevlerinin değeri farklı! Leibnitz kuralından $F(1)=\frac{5^3-5\cdot5^2+60}{5^2+5}(2-3)=-2$ bulunur. (İlk versiyonda karışıklı olmuş, kusura bakmayın!)

Answer 2

$$F'(x)=f(x)$$ olsun $$(\int f(x)dx]'=[F(x)+c]'=F'(x)=f(x)$$   ve              $$\int_{u(x)}^{v(x)}f(x)dx=F(v(x))-F(u(x))$$  olduğundan

 $$[\int_{u(x)}^{v(x)}f(x)dx]'=[F(v(x))-F(u(x))]'= v'(x).F'(v(x))-u'(x).F'(u(x)) =v'(x).f(v(x))-u'(x).f(u(x))$$ olacaktır.

Burada $u(x)=3x+2, u'(x)=3, v(x)=x^2+4, v'(x)=2x, f(x) =\frac{x^3-5x+60}{x^2+5}$ olduklarından bu değerleri en son formülde yerine yazarsak;

$$2x.\frac{(x^2+4)^3-5(x^2+4)+60}{(x^2+4)^2+5}-3\frac{(3x+2)^3-5(3x+2)+60}{(3x+2)^2+5}$$

sonrası $\dots$