Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.9k kez görüntülendi
f(x)=x³+ax²+bx+c fonksiyonunun A(1, -1) noktasında yerel maksimumu vardır. a sayısının alacağı en büyük tam sayı değeri için c gerçel sayısı kaçtır?
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (11 puan) tarafından  | 1.9k kez görüntülendi

Soruyu çözmek için harcadığınız çabalarınız paylaşır mısınız? 

Tabi ki. f(1)= -1 için fonksiyonu yazıp a+b+c= -2 buldum sonra f'(1)=0 için yazdım fonksiyonu ve 3+2a+b=0 dan b= -2a-3 buldum. bu iki denklemi de düzenleyip a= c-1 buldum sonrasında f'(x)=3x²+2ax+b için yerel max olması en az bir kökü olması demektir diye düşünüp delta büyük o dır diye düşündüm  burdan (a+3)²>0 geldi sonra tıkandım a nın en büyük değerini nasıl elde edeceğimi düşünemedim bir türlü.

$3x^2+2ax+b$ nin  diskriminantını ($\Delta$) doğru hesapladığına emin misin?

$(a+3)^2$ nasıl çıkıyor anlamadım.

Peki $f'(1)=0$ ve $x=1$ de fonksiyonun yerel maksimumu varsa acaba $f''(1)<0$ mı yoksa $f''(1)>0$  dır.


(2a)²-4.3.b burda b yerine bulduğum b=-2a-3 değerini yazdım. 4a²-4.3.(-2a-3) ten 4a²+24a+36a geliyor 4 le sadeleştirince de a²+6a+9 geliyor oradan yaptım ama yanlış mı olmuş

Bunu nasıl düşünmem gerek emin değilim. 2.türev müfredatta yok diye kafamı hiç yormamıştım bu yönden ama nasıl düşünebilirim? 

Araştırdım emin değilim ama sanırım f''(1)<0 oluyor biz buna bakıp |a+3|>0 için a=-4 gibi bir şey mi diyeceğiz. 2.türev yorumuna neden ihtiyaç duyduk burada?

$\Delta$ hesabın doğru, gerçekten de $(a+3)^2>0$ olmalı.

Fakat, (biri 1 olan) iki kök olması, yerel maksimumun 1 de olması için yeterli değil.

 1 de türevin işaretinin + dan - ye değişmesini gerektiğini kullanamaz mısın?

(Ya da türevin iki kökünden hangisinde yerel maksimum hangisinde yerel minimum olur tahmin edebilir misin?)

Nasıl yani hocam evet f(x) in yerel max 1 olması demek 1 den önce işareti + ve f'(x)>0. 1 den sonrası için f(x) - ve f(x)<0 demek evet ama f'(x) in yerel maksimumunu ya da minimumunu tahmin edemedim. 

fonksiyon türevinin işaret tablosunu çizdiğinde kökün birisi zaten 1 gelecek.Peki 1 solda(küçük olan) kök mü yaksa büyük olan kök mü?(artan -azalan ilişkisinden)Cevabından sonra kökler toplamı aracılığıyla diğer köküde a cinsinden bulabilirisin.İşte bu kökün 1 ile olan ilişkisinden(büyüklük,küçüklük) soru gelir diye düşünüyorum.

$f'(x)$ in köklerinin $a,b$ cinsinden yazarsan,  türevin işaret tablosunu bulabilirsin. Hangi (küçük,büyük?) kökte yerel maksimum oluyor?

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Verilen fonksiyon $(1-1)$ noktasında yerel maksimuma sahipse fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfırdır. $f'(x)=3x^2+2ax+b$ olup $f'(1)=3+2a+b=0\rightarrow b=-3-2a$ bulunur.  Diğer taraftan bu polinom üçüncü dereceden olup $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$  ve $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty$ olduğundan  fonksiyon önce maksimum yapıp sonra minimum yaparak   $x\to\infty$   için $ f(x)=\infty$ olmaktadır. Yani fonksiyonun türevi iki köke(sağlayıcıya) sahip olmak zorundadır. Fonksiyonun yerel maksimum değerini aldığı $x=1$ köklerden birisidir. Diğer kök fonksiyonun minimuma ulaştığı daha sağ tarafta bir değerdir.  Şimdi türevin iki kökünden daha büyük olanını bulalım.

$f'(x)=3x^2+2ax+b=0$  kökleri $x_1=1 , x_2$ olsun.  $x_1+x_2= -\frac{2a}{3}\Rightarrow 1+x_2=\frac{-2a}{3}\Rightarrow x_2=\frac{-2a-3}{3}$ olur.  Yukarıda yapılan yorumdan $1<x_2=\frac{-2a-3}{3}\Rightarrow a<-3$ olur. O halde $a=-4, b=5,c=-3$ olacaktır.  

(19.2k puan) tarafından 
20,238 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,053,538 kullanıcı