$\int_0^1\frac{\ln(1-x)}x\,dx$ integralini hesaplayınız.

Question

Belirsiz integral elementer değil ama belirli integrali bulabiliyoruz.

(Bir kaç önemli teorem kullanmak gerekiyor)

(Stanford Üniversitesinde, bir Matematik yarışmasında sorulan bir sorunun, biraz değiştirilmiş ve kolaylaştırılmış şeklidir)

Answer 1

Cok guzel bir soru.. Gerekli yerlerde Fubini Teoremini kullanmisimdir..

$$\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^{\infty}x^k,\qquad|x|<1\implies\frac{-1}{1-x}=\sum_{k=0}^{\infty}-x^k$$

$\frac{d}{dx}\ln(1-x)=\frac{-1}{1-x}\implies$

$\boxed{\begin{aligned}\ln(1-x)&=\int\frac{-1}{1-x}dx=\int\sum_{k=0}^{\infty}-x^k dx\\&=\sum_{k=0}^{\infty}\int -x^k dx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{-x^{k+1}}{k+1}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{-x^{k}}{k}\end{aligned}}$

$\begin{aligned}\int_0^1\frac{\ln(1-x)}{x}dx&=\int_0^1\frac{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{-x^{k}}{k}}{x}dx=\sum_{k=1}^{\infty}\int_0^1\frac{-x^{k-1}}{k}dx\\&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{-x^{k}}{k^2}\Big|_0^1=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{-1}{k^2}=-\zeta(2)=-\frac{\pi^2}{6}\end{aligned}$

Comments

Dikkat edilirse, bu soruda, Analizin 4 önemli teoremi kullanılıyor:

1. Kuvvet Serilerinin Terim-Terime Türevlenebilmesi Teoremi.

2. (Kuvvet Serilerinin (yakınsaklık aralığı içinde) düzgün yakınsıyor olması

3. (Bir kapalı sınırlı aralıkta) Düzgün yakınsayan fonksiyon serilerinin terim-terime integrallenebilmesi

4. Abel in, uç noktalarda yakınsayan kuvvet serilerinin, uçlardaki (tek taraflı) limiti ile ilgili teoremi.

(1. ve 3. teoremler bağımsız değil)

---

Cozerken o kadar cok teorem kullandigimi bilmiyordum hocam :)

---

$x=-u$  dönüşümü ile   $ln(1-x)=ln(1+u)$ ifadesinin seriye açılımını integrantta yerine yazarak çözmek de mümkün.

---

Soruyu pek değiştirmiyor bu, sanki? 

---

Evet. Sanırım aynı şeyi söylemişim.