Dini Teoremi (Ulisse Dini)

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay, her $n\in\mathbb{N}$ için $f_n\in\mathcal{C}(X):=\{f|f:X\to\mathbb{R} \text{ sürekli}\}$ ve $f:X\to\mathbb{R}$ fonksiyon olsun. $$((X,\tau) \text{ kompakt})(\forall n\in\mathbb{N})(\forall x\in X)(f_n(x)\leq f_{n+1}(x))(f_n\overset{n}{\to}f)(f, \text{ sürekli})$$ $$\Rightarrow$$ $$f_n\overset{d}{\to} f$$ olduğunu gösteriniz. 

 

 Yani kompakt bir topolojik uzaydan gerçel sayılara tanımlı sürekli bir fonksiyona noktasal yakınsayan monoton bir fonksiyon dizisi aynı zamanda düzgün yakınsaktır.

 

NOT: $X\neq \emptyset \,\ \text{küme}, \,\ (Y,d)$ metrik uzay$,$ $f_n \in\left (Y^X\right)^\mathbb{N} \,\ \text{ve} \,\ f \in Y^X$ olmak üzere

$$f_{n}\overset{d}{\longrightarrow }f:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists N \in \mathbb{N})(\forall x\in X)(\forall n\geq N)(d(f_n(x),f(x))<\epsilon)$$ $$f_{n}\overset{n}{\longrightarrow }f:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\forall x\in X)(\exists N \in \mathbb{N})(\forall n\geq N)(d(f_n(x),f(x))<\epsilon)$$