Tümevarımda $n$ için doğru olduğunu kabul ettiğimizde $n-1$ için de doğru olduğunu kabul etmiş sayılır mıyız?

Question

Kendi iddia ettiğim bir önermede tümevarımla ispat yapmaya çalışıyorum. Normal sartlarda iddia edilen bir eşitliği $n$ için doğru olsun diye kabul edip $n+1$ için doğru olduğunu göstermeye çalışırız. Fakat yapmaya çalıştığım ispatta iddia ettiğim eşitliğin $n-1$ ve $n-2$ için olan halini ispat yaparken kullanmak zorundayım. Çünkü recursive bağıntılarla iç içe bir durum var. Aklıma takılan şu, $n$ için doğruluğunu kabul ettiğimiz zaman $n-1$ ve $n-2$ için de doğruluğunu kabul etmiş sayılır mıyız?

Comments

Probleminizi burada sunmakta sakınca yoksa eğer müsait bir vakitte foruma yazabilirseniz, biz de çözüm üretmeyi deneyebiliriz.

Answer 1

$n$ için önermenin doğru olduğunu kabul ettiğinizde $n-1$ için kabul etmiş olmazsınız. Bununla beraber, ilk olarak öğrendiğimiz tümevarım ispat yöntemi "zayıf tümevarım yöntemi" dir. Anladığım kadarıyla probleminizi çözmek için "kuvvetli tümevarım yöntemi" içeren bir ispat yapmanız gerekiyor.

Kuvvetli tümevarım yöntemini şöyle açıklayalım: $n=1,2,3$ için önermenizin doğru olduğunu gösteriniz. $n-2,n-1,n$ için önermenizin doğru olduğunu kabul ediniz. $n+1$ için önermenizi ispatlayınız.

Bunu daha genel ardışık $k$ tane değer için de yazabiliriz, fakat anlaşılırlık için $n=1,2,3$ yazmayı tercih ettim.

Comments

Cevabımı aldım sayılır teşekkür ederim. En azından güzel bir fikir verdi.