Question

$ H=\left\{ 1,\left( 13\right) \right\} $ , $D_{8}$ in sol ve sağ kosetlerini bulunuz.

$ H=\left\{ 1,\left( 13\right) \right\} $ verilmiş.

$D_{8}=\left\{ 1,r,r^{2},r^{3},s,sr,sr^{2},sr^{3}\right\} $

sol koset için $aH$ göstermeliyim.

$ (1)H = H $

$ (r)H = \left\{ r,r\left( 13\right) \right\} $ . Bunu  $D_{8}$ in eleamanları bitene kadar devam ettirmeliyim , ama böyle $ \left\{ r,r\left( 13\right) \right\} $ bulunca kafam karıştı ne yapmalıyım ?

Comments

$(1,3),\ D_8$ in hangi elemanı?

---

hocam $D_8$ = Kare desem.Karenin her bir kenarının başını numaralandırsam 1 2 3 4 diye. Sonra saat yönünde döndürsem 4 1 2 3 elde edicem.

Birde H 2 elemandan daha fazla olmamalı mı ?

---

Belki de döndürme değildir.

Niye H de ikiden çok elaman olmalı?

$D_8$ de dönmeden başka elemanlar da var. 

(Karenin dönme dışında da simetrileri var)

---

Ek not: $D_8$ kare değil, karenin simetrilerinin oluşturduğu grup. 

Her elemanı karenin bir simetrisi. 

Karenin köşeleri sıra ile 1,2,3,4 olsa (1,3), karenin hangi simetrisi olur? (Permütasyon grubundaki elemanları düşün)

---

hocam $r^2$ mi oluyor ? Hatta 1 ve $r^2$ , $D_8$in üreteci

---

hocam (1234) desek bir tur döndürdüm , (13)(24) = $r^2$ olucak. (1234) ün tersi $r^3$ olucak. $r^4$=1 zaten. (13) simetri grubundaymış. 2 ile 4 sabit tutalım , 1 ile 3 yer değiştirelim.

---

yani (13) = $rs$ 'ye tekabül ediyor. $rs = sr^3$ tür $D_8$te.

$D_8$in her elemanını soldan ve sağdan $sr^3$ ile çarparsam istediğimi elde edicem.