Question

$|x|<1$ olmak üzere $1+2x+3x^2+4x^3+...=?$

Comments

Geometrik serinin turevini bi dusun bakalim.

---

Aynen o şekilde yaklaşım yapılacak.

Answer 1

Verilen ifadeye dikkatlice bakıldığında başka bir ifadenin türevi alınmış haline benziyor.

$A=1+x+x^2+x^3+x^4+... \ $ olsun.

(A nın (x e göre) türevini alırsak  bize verilen ifadeyi bulmuş oluruz.)

$\left.\begin{array}{rr} A=1+x+x^2+x^3+x^4+... \\ Ax=x+x^2+x^3+x^4+... \end{array}\right\} \Rightarrow A-Ax=1$

$ \Rightarrow A=\frac {1} {1-x} \Rightarrow  A'=\frac {1} {(1-x)^2} $

Comments

...larla işlem yapmak pek sağlıklı değil. Bu |x|<1 den de bağımsız oldu bu haliyle. Sağlıksız olmasının bir sebebi. 

---

Evet Sercan hocam haklısınız güzel bir noktaya değindiniz  siz $\displaystyle\sum_{i=0}^\infty x^i=\frac {1} { 1-x}$ bu eşitlikten söylemek doğru olur diyorsunuz sanırım.

Yapılan ifadenin  sağlıksız olmasının sebebinin yani (|x|<1 den) bağımsız olmasını nasıl garanti ettiniz.

Soruya şu ifadeyi eklemek daha doğru olacak sanırım (0<|x|<1)

---

Islemlerin neresinde $|x|<1$ kullaniliyor gozukmuyor. Gozukmemesinin sebebi ...lar arasinda kayboluyor aslinda.

---

Hımm bu biraz sezgisel olmuş sanırım hocam.

---

Doğan hocam bu yorumu bir cevaba dönüştürebilirsiniz, farklı ve güzel bir çözüm yolu ...

Answer 2

Önceki çözümdeki gibi, önce,$\frac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$ olduğu gösterilip, sonra, şöyle devam edilebilir:

$\begin{aligned}1&+2x+3x^2+4x^3+\cdots\\&=(1+x+x^2+\cdots)+x(1+x+x^2+\cdots)+x^2(1+x+x^2+\cdots)+\cdots\\&=(1+x+x^2+\cdots)(1+x+x^2+\cdots)=(1+x+x^2+x^3+\cdots)^2=\frac1{(1-x)^2}\end{aligned}$