Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1k kez görüntülendi
Sayılar teorisi kitabındaki uygulamalar kısmında olan bir ispat elementer dersi alan öğrencilerimiz için faydalı olabilecek çözümlerini gösterelim
Lisans Matematik kategorisinde (14 puan) tarafından 
tarafından yeniden gösterildi | 1k kez görüntülendi

$(a,b)$  derken sanırım bu sayıların ebobunu kastediyorsunuz. Kategoriyi "lisans" olarak düzelttik.

Ebobunu kastediyorum

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$(a,b)=d$ olsun. $a=dx$, $b=dy$ ve $(x,y)=1$ olacak şekilde $x,y \in \mathbb Z$ vardır.

Biz $(a+b,a-b)=d$ olmasını istiyoruz. $(a+b, a-b)=(d(x+y), d(x-y)) = d(x+y,x-y)$ olduğundan $(x+y,x-y) = 1$ olmasını istiyoruz. Tabii ki böyle bir şey her zaman olmayacaktır. Örneğin $x=3,y=1$ iken $(x+y,x-y)=(4,2)=2$ olmaktadır. Sadece $(x,y)=1$ olduğunu biliyoruz ve $x,y$ tam sayılarını $(x+y,x-y) = 1$ olacak biçimde dikkatlice seçmeliyiz.

Şu durumları inceleyelim:

$\bullet $ $x$ ve $y$ her ikisi de tek sayılar ise $x+y$, $x-y$ çift sayılar olup $(x+y,x-y) \neq 1$ dir.

$\bullet $ $x$ ve $y$ her ikisi de çift sayılar olamazlar, çünkü $(x,y)=1$ demiştik.

$\bullet $ Geriye kalan son durum $x$ ile $y$ den biri çift diğeri tek sayı olmalıdır. http://matkafasi.com/123614/obeb-kavrami-%24-a-b-a-b-b-%24-esitligi bağlantısındaki eşitlikleri de kullanarak 

$(x+y,x-y)=(x+y + (x-y), x-y)= (2x, x-y) = (x, x-y)$ yazabiliriz. ($2x$ deki $2$ çarpanını bir sonraki eşitlikte silebiliyoruz, çünkü $x-y$ tek sayıdır ve $2$ çarpanı içermez.) Ayrıca aynı bağlantıdaki eşitliklere göre $(x, x-y)=(x,y)=1$ dir. Böylece $(x+y,x-y)=1$ elde etmiş durumdayız.


Sonuç olarak $(a,b)=(a+b,a-b)$ olması için gerek ve yeter şart $x=\dfrac{a}{(a,b)}$ ve $y=\dfrac{b}{(a,b)}$ sayılarından birinin tek sayı, diğerinin çift sayı olmasıdır.




(2.6k puan) tarafından 
20,240 soru
21,759 cevap
73,404 yorum
2,072,931 kullanıcı