obeb kavramı $(a,b)=(a+b,b)$ eşitliği

Question

$a,b$ tam sayılar olmak üzere $(a,b)=(a+b,b)=(a+b,a)=(a-b,a)=(a-b,b)$ olduğunu gösteriniz.

Not: $(a,b)$ sembolü ile $a$ ve $b$ tam sayılarının en büyük ortak böleni gösteriliyor.

Ayrıca problemin kaynak kitabından emin olmamakla beraber, Fehti Çallıalp'in Sayılar Teorisi kitabı olduğunu sanıyorum. Öğrencilerin sıkça sorduğu sorulardan biridir. Bir kez burada çözüm yolunu sunalım istedim. Farklı çözümler yapılabilir, onları da ekleyebilirsiniz ...

Answer 1

Soru, Lisans kategorisinde olduğu için aşağıdaki gibi (biraz daha genel bir durumda) çözüm yapılabilir.

(Şunlar, her halka teorisi dersinin olmazsa olmazıdır: (değişmeli halkalarda) (her $a\in R$ için) $aR=\{ar:r\in R\}$, $R$ nin bir idealidir. Ayrıca, $I$ ve $J,\, R$ nin iki ideali ise $I+J=\{r+s:r\in I,s\in J\},\, R$ nin bir idealidir.)

$R$ bir Esas İdeal Bölgesi (PID) olsun. Yani, ($R$ birim elemanlı,değişmeli, sıfır bölensiz ve) $R$ nin her ideali, bir esas ideal (:bir $a\in R$ için $aR$ şeklinde ) olsun. Örneğin: Tamsayılar halkası bir Esas İdeal Bölgesidir. Bir cisim üzerinde tek değişkenli polinomlar halkası daima bir Esas İdeal Bölgesidir. Her Öklid halkası bir Esas İdeal Bölgesidir.

O zaman, $R$ nin herhangi iki (veya daha fazla)  elemanının ebob u şöyle tanımlanabilir:

$(a,b)=aR+bR$ idealinin (herhangi bir)  üreteci. (Bu durumda, iki elemanın ebob u tek bir eleman değil, biri diğerinden tersinir (birim)  bir eleman ile çaparak elde edilmiş olan elemanlar topluluğundan herhangi birisi olacaktır. $R$ üzerinde bu bir denklik bağıntısıdır.) 

(Doğal sayılar sözkonusu olduğunda, $\mathbb{Z}$ halkasını kullanıyoruz ve ($\{0\}$ dan farklı) bir idealin iki üretecinden pozitif olanı seçiyoruz.) Bu tanımın, $a,b\in\mathbb{N}$ iken, bilinen ebob tanımı ile aynı olduğunu göstermek oldukça kolaydır.

Bu durumda $aR+bR$ ideali ile $(a+b)R+bR$ idealinin eşit olduğu kolayca görülür.

(Bu fikir ile, Esas İdeal Bölgelerinde, iki elemanın ekok' u da $aR\cap bR$ nin üreteci (daha doğrusu üreteçlerinden herhangi biri) olarak tanımlanabilir.)

Comments

Teşekkürler Doğan hocam, obeb-okek kavramı ile ilgili ufkumuz açılıyor.

Answer 2

$(a,b)=d$ olsun.

$(a,b)=d \Rightarrow ( d|a ) \ ( d|b ) \Rightarrow (\exists m_1,m_2\in\mathbb{Z})(a=d.m_1)(b=d.m_2)$

$\Rightarrow ((m_1,m_2)=1)(a+b=d.(m_1+m_2)) (b=d.m_2) \\ \Rightarrow\begin{array}{c} \\ \left.\begin{array}{rr} ((m_1,m_2)=1)((a+b,b)=d(m_1+m_2,m_2)) \\ (k\in\mathbb{Z}^+) ((m_1+m_2,m_2)=k) \end{array}\right\}  \Rightarrow \end{array}$

$\Rightarrow ((m_1,m_2)=1)(k|m_1+m_2 \ \wedge \ k|m_2)((a+b,b)=d.k)$

$\Rightarrow ((m_1,m_2)=1)(k|m_1 \ \wedge \ k|m_2) ((a+b,b)=d.k)$

 $\Rightarrow ((m_1,m_2)=1)(k|(m_1,m_2))((a+b,b)=d.k)$

$\Rightarrow (k=1)((a+b,b)=d.k)$

$\Rightarrow (a+b,b)=d$

Comments

Katkınız için teşekkür ederim Hakan bey. Çözümde küçük bir kusur var, $d|a+b$ ve $d|a$ olduğunu göstermek $d|(a+b,a)$ olduğunu gösterir. $d=(a+b,a)$ olduğunu göstermez. Bu kısmı da tamamlayabilirseniz, çözüm sonuca ulaşmış olacaktır.

---

Evet Lokman bey haklısınız düzelteyim.

Answer 3

$(a,b)=d$ olsun. $a=dx$, $b=dy$ ve $(x,y)=1$ olur. Buna göre

$a+b=d(x+y)$ ve $a=dx$ sayılarının her ikisinin de ortak bir böleni $d$ dir. Bu durumu $(a+b,a)=d(x+y, x)$ ile gösterebiliriz. Şimdi $(x+y,x)=1$ olduğunu kanıtlayacağız. Ama unutmayalım ki $(x,y)=1$ idi. 

$(x+y,x)=t$ diyelim. $x+y=tk$, $x=tn$ olur. Bu halde $y=t(k-n)$ dir. $t|x$ ve $t|y$ olduğundan $t=1$ olmak zorundadır. Çünkü $(x,y)=1$ demiştik. Böylece $(x+y,x)=1$ olup $(a+b,a)=d(x+y, x)=d=(a,b)$ elde edilir.

Burada $d,t$ obeb değerleri olduğundan pozitif tam sayılardır ve diğer $x,y,k,n$ birer tam sayıdır. Diğer eşitliklerin de aynı biçimde ispatlanabileceği açıktır.

Problem basit olmakla beraber yine de elimden geldiğince anlaşılır biçimde yazmaya çalıştım, umarım öyle olmuştur.