Dörtgende Alan (2000 JBMO Shortlist)

Question

Beğendiğim bir sorudur:

Soru: $m(\widehat{DAB})=60^\circ$, $m(\widehat{ABC})=90^\circ$, $m(\widehat{BCD})=120^\circ$ olan $ABCD$ dörtgeninin $[AC]$, $[BD]$ köşegenleri $M$ noktasında kesişiyor. $|MB|=1$, $|MD|=2$ olduğuna göre, $ABCD$ dörtgeninin alanını bulunuz.

Kaynak: 2000 Junior Balkan Matematik Olimpiyatı Shortlist sorusu.

Comments

Güzel soru imiş.

Answer 1

Düzeltme (ben, daha önce, ($\angle OBD=\frac{ 60^{\circ}}2=15^\circ$ olarak düşünüp çözmüşüm!)

edit: Yarıçapın hesaplanmasını basitleştirdim:

 

$ADC$ açısının da 90 derece olmasından, dörtgenin bir kirişler dörtgeni olduğu ve $AC$ köşegeninin bir çap olduğu görülüyor.

Çemberin merkezine $O$ diyelim. $O,\ AC$ köşegeni üzerindedir. $OBD$ tepe açısı $120^\circ$ olan bir ikizkenar üçgendir.

$\angle DOM=\alpha,\ \angle BOM=\beta$ diyelim $\alpha+\beta=120^\circ$ ve (sinüs teoreminden) $\sin\alpha=2\sin\beta$ olur.

Burada (şans eseri!) kolayca $\alpha=90^\circ,\ \beta=30^\circ$ bulunur. $\angle CAD=45^\circ, \angle BAC=15^\circ$ olur. Bu da $ACD$ nin ikizkenar dik üçgen, $ABC$ nin $90^\circ-15^\circ-75^\circ$ dik üçgen olması demektir. Çemberin çapı ikisinin de hipotenüsüdür.

$BOD$ ikizkenar üçgeninde, tepeye ait açıortay tabanı ikiye böler ve üçgeni iki (30-60-90) dik üçgene böler. Bu dik üçgenlerin hipotenüsü $R$ ve uzun dik kenarının uzunluğu $\frac32$ dir. Buradan, $R=\sqrt3$ bulunur.  $ACD$ nin alanı $R^2=3$ olur. $ABC$ nin alanı$\frac12R^2=\frac32$ bulunur (açıklaması yorumda). $ABCD$ nin alanı=$\frac{9}2$ dir.

Comments

Son (alan bulma) işlemler o kadar da uzun değilmiş:

$ACD$ üçgeninin alanı $=R^2$

$ABC$ üçgeninin alanı =$ACD$ üçgeninin alanının yarısı =$\frac12R^2$

(Çünki $BMC$ nin alanı=$\frac12\  DMC$ nin alanı ve $AMB$ nin alanı=$\frac12\  AMD$ nin alanı)

---

Ben ilk çözümümde, iç açıları $120^\circ,15^\circ,15^\circ$ olan üçgen bulmuşum (Hiperbolik Geometri kullanmışım herhalde!)