$5\times 5$ tahtada $4$ fil için $\dbinom{25}{4}=12650$ yerleştime yapabiliriz. İstenmeyen durumları çıkaralım. Fil yerleştirdiğimiz kareleri $\star$ sembolü ile işaretleyelim.
$ \begin{array} {|c|c|c|c|c|} \hline \color\white{\star} & & & & \\ \hline \color\white{\star} & \color\white{\times} & \color\white{\times}&\color\white{\times} & \color\white{\times} \\ \hline \star & \color\white{\star} & \color\white{\star} & \color\white{\star} & \\ \hline & \star & \color\white{\star} & \color\white{\star} & \color\white{\star} \\ \hline \color\white{\star} & \color\white{\star} & \star & \color\white{\star} & \color\white{\star} \\ \hline \end{array} $
Bu durumda üç fil bir köşegen üzerindedir. Bu biçimde $4$ farklı düzen vardır. Son fili, geri kalan $22$ kareden herhangi birine yerleştirebiliriz. Buradan $4\cdot 22 = 88$ elde edilir.
$ \begin{array} {|c|c|c|c|c|} \hline \color\white{\star} & \color\white{\times} & \color\white{\times} & \color\white{\times} & \color\white{\times} \\ \hline \star & \color\white{\times} &\color\white{\times} & \color\white{\times} & \color\white{\times} \\ \hline \color\white{\times} & \star & \color\white{\times} & \color\white{\times} & \color\white{\times} \\ \hline \color\white{\times} & & \times & \color\white{\times} & \color\white{\times} \\ \hline \color\white{\star} & \color\white{\star} & \color\white{\star} & \star & \color\white{\star} \\ \hline \end{array} $
Bu durumda yine üç fil doğrusal konumdadır, ancak son fili $\times$ olan kareye getirmiyoruz. Yani yalnızca üç filin doğrusal olduğu durumları hesaplamak istiyoruz. Dolayısıyla aynı köşegen üzerindeki $4$ yerden $3$ tanesine fil getirip birini boş bıraktığımız durumlar $\dbinom{4}{3}$ ile belirlenir. Bu şekilde $4$ konfigürasyon vardır. Ayrıca geriye kalan $21$ kareden birine sol fili yerleştireceğiz. Buradan $4\cdot \ \dbinom{4}{3} \cdot 21 = 336 $ elde edilir.
$ \begin{array} {|c|c|c|c|c|} \hline \star & \color\white{\times} & \color\white{\times} & \color\white{\times} & \color\white{\times} \\ \hline \color\white{\times} & \star & \color\white{\times} & \color\white{\times} & \color\white{\times} \\ \hline & & \times & & \\ \hline & & & \times & \\ \hline & & & & \star \\ \hline \end{array} $
Ana köşegen üzerindeki $5$ kareden $3$ tanesini seçerek bu işlemi yapalım: $\dbinom{5}{3}$ yolla bu seçim olur. $2$ tane ana köşegen seçimi vardır. Ayrıca geriye kalan $20$ kareden birine son fili yerleştiririz. Buradan $2\cdot \dbinom{5}{3} \cdot 20 = 400$ olur.
$4$ filin köşegenlere paralel bir doğru üzerinde olduğu diğer durumların sayısının da $4+ 2\cdot \dbinom{5}{4}= 14$ olduğu kolaylıkla hesaplanabilir.
Böylece istenmeyen durumların toplam sayısı $88+336+400+14= 838$ dir. İstenen durumların sayısı ise $12650 - 838 = 11812 $ dir. $N=11812 \equiv 12 \pmod{100}$ elde edilir. $x=12$ olur.