Permutasyon kombinasyon

Question

3 evli çift düz bir sıraya hiç kimse kendi eşiyle yan yana olmayacak şekilde kaç farklı şekilde oturabilir? (240)

Comments

Sen bu soruda ne düşündün/denedin İpekipek ?

---

Ben 6! Den yan yana oldukları durumu çıkarayım dedim. Şöyle düşünmüştüm. Bir çifti evli diye yapıştırsak 5 kişilik grup olur. 5!.2!=240 720-240=480 Bir evli çift yapışık iken arada diğer evli çiftlerin de bir arada olduğu durumlar otomatik hesaba dahil olur dedim. Ancak olmadı.

Answer 1

Lise de İçerme – Dışlama Prensibi ogretilip ogretilmedigini bilmedigim icin, lise icin zor bir soru olabilir. Katogori Lisans da olabilir.

$S=\{A,B,C,D,E,F\}$ ve ciftlerimiz $\{AB,CD,EF\}$olsun.

Hicbir kosul yokken tum durum $6!$ dir.

1 cift yanyana otursun: 

$\{AB,C,D,E,F\}$ veya $\{A,B,CD,E,F\}$ veya $\{A,B,C,D,EF\}$

$3(5!\cdot2!)$

2 cift yanyana otursun:

$\{AB,CD,E,F\}$, $\{AB,C,D,EF\}$ veya $\{A,B,CD,EF\}$ 

$3(4!\cdot2!\cdot2!)$

3 cift yanyana otursun:

$\{AB,CD,EF\}$

$3!\cdot2!\cdot2!\cdot2!$

$\underbrace{6!}_{\text{Tum durumlar}}-\underbrace{3(5!\cdot2!)}_{\text{1 cift yanyana}}+\underbrace{3(4!\cdot2!\cdot2!)}_{\text{2 cift yanyana}}-\underbrace{(3!\cdot2!\cdot2!\cdot2!)}_{\text{3 cift yanyana}}=720-720+288-48=240$

Bu İçerme – Dışlama Prensibi olarak bilinir

$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+| C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$

Tekrar sayma islemini duzeltme icin cikarma islemi yapilir.

Kume icindeki sayilar, alttaki islemi yaparken o alani kac defa saydigimizi gosterir.

https://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion%E2%80%93exclusion_principle

Sizin sorunuz ise su sekilde olacak..

$\begin{align}|A\cup B\cup C\cup D|=&\Big(|A|+|B|+| C|+|D|\Big)\\-&\Big(|A\cap B|+|A\cap C|+|A\cap D|+|B\cap C|+|C\cap D|\Big)&\\+&\Big(A\cap B\cap C|+|A\cap B\cap D|+|B\cap C\cap D|\Big)&\\-&\Big(|A\cap B\cap C\cap D|\Big) \end{align}$

Comments

Öncelikle teşekkür ederim. Toplama çıkarma işlemlerini neye göre düşündünüz? Orayı bir açıklarsanız. Mükerrer saydığımız için olduğunu anladım ancak tam mantığını düşünemedim.

---

Cevabi biraz duzenledim, umarim simdi aciklayici olmustur.

---

Şimdi çok net anladım, teşekkürler.