Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi

2. ve 3. soruları cevaplarsanız sevinirim.image

Lisans Matematik kategorisinde (14 puan) tarafından  | 1.2k kez görüntülendi

Sorunuz bircok kurala uymuyor. Lutfen daha sonraki sorularinizi kurallar dahilinde sorunuz. Kurallar soruyu sorarken beliriyor. Ordan okuyabilirsiniz.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

1)  a)

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=2(x-2)+2(x-2y^2)=0\qquad (1)$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=2(x-2y^2)(-4y)=0\qquad (2)$

$(2)\Longrightarrow y=0$ veya $x=2y^2$

$(1)\Longrightarrow y=0$ ise  $2(x-2)+2(x)=0 \Longrightarrow x=1$

$(1)\Longrightarrow x=y^2$ icin cozum yok.  O zaman kritik noktalarimiz

$(2)\, x=1 \Longrightarrow 2(1-2y^2)(-4y)=0\Longrightarrow y=0$ veya $y\mp\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$(1)\, x=1 \Longrightarrow 2(1-2)+2(1-2y^2)=0\Longrightarrow y=0$

$(1,0),(1,\dfrac{\sqrt{2}}{2}),(1,-\dfrac{\sqrt{2}}{2})$ olur.

2)  $V=\pi r^2 h=20\pi$. Maliyet $M$ olsun. O zaman


$M=(2\pi r^2)10+(2\pi r h)8$ olur. Mailyeti minimize etmemiz lazim. Oncelikle yukaridaki iliskiyi kullanarak bir $M$'yi bir degiskene dusurelim.


$\pi r^2 h=20\pi \Longrightarrow h=\dfrac{20}{r^2}$, $M$'de yerine koyalaim.

$M=(2\pi r^2)10+(2\pi r\dfrac{20}{r^2})8=20\pi r^2+ \dfrac{320\pi}{r}$

$\dfrac{dM}{dr}=40\pi r-\dfrac{320\pi}{r^2}=0$

$\dfrac{40\pi r^3-320\pi}{r^2}=0\Longrightarrow 40\pi r^3-320\pi=0\Longrightarrow  r^3=8\Longrightarrow  r=2$. $r=2$'nin gercekten  maliyeti minimize eden deger oldugunu gostermek icin $M''(2)$ isaretine bakilabilir veya birinci turevde tablo yapilabilir ($r=0$'i da goz onune alarak). Bunu size birakiyorum.

$h=\dfrac{20}{2^2}=5$


3) Once  Newton metodunu 1 degiskenli fonksiyonlar icin hatirlayalim. Newton methodu, $x_0$ noktasini baslangic olarak alan ve itarasyon ile $f(x)=0$ fonsiyonun kokunu bulan bir metod.


$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\qquad n=0,1,\dots$

$n=0:\qquad x_{1}=x_0-\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$


Cok degiskenlilerde ise formul su haldedir. $J=\left[
\begin{array}{ccc}
 \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_N} \\
 \vdots & \ddots & \vdots \\
  \dfrac{\partial f_N}{\partial x_1} & \dots & \dfrac{\partial f_N}{\partial x_N}\\
\end{array}
\right]$ Jacobian matrix olmak uzere

$\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_{n}-J(\mathbf{x}_{n})^{-1}f(\mathbf{x}_{n})$ dir.

2 degiskenliler icin yazalim.

$\left[
\begin{array}{c}
 x_{n+1} \\
 y_{n+1} \\
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{c}
 x_{n} \\
 y_{n} \\
\end{array}
\right]-\left[
\begin{array}{cc}
 \dfrac{\partial f_1}{\partial x}( x_{n}) & \dfrac{\partial f_1}{\partial y}( x_{n}) \\
  \dfrac{\partial f_2}{\partial x}(y_{n}) & \dfrac{\partial f_2}{\partial y}( y_{n}) \\
\end{array}
\right]^{-1}\left[
\begin{array}{c}
f_1( x_{n}) \\
 f_2(y_{n}) \\
\end{array}
\right]$

Sizin sorunuza gelince, $(x_0,y_0)=(1,1)$


$F(x,y)=\left[
\begin{array}{c}
 f_1(x,y) \\
f_2(x,y)  \\
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{c}
x^2+y^2+3 \\
 -2x^2-\dfrac{1}{2}y^2 +2\\
\end{array}
\right]$

$J=\left[
\begin{array}{cc}
 \dfrac{\partial f_1}{\partial x} & \dfrac{\partial f_1}{\partial y} \\
  \dfrac{\partial f_2}{\partial x} & \dfrac{\partial f_2}{\partial y} \\
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{cc}
2x &2y \\
  -4x & -y \\
\end{array}
\right]$

$J^{-1}=\left[
\begin{array}{cc}
 -\dfrac{1}{6 x} & -\dfrac{1}{3 x} \\
 \dfrac{2}{3 y} & \dfrac{1}{3 y} \\
\end{array}
\right]$

$\left[
\begin{array}{c}
 x_{n+1} \\
 y_{n+1} \\
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{c}
 x_{n} \\
 y_{n} \\
\end{array}
\right]-\left[
\begin{array}{cc}
 -\dfrac{1}{6 x}(x_n) & -\dfrac{1}{3 x} (x_n)\\
 \dfrac{2}{3 y}(y_n) & \dfrac{1}{3 y}(y_n) \\
\end{array}
\right]\left[
\begin{array}{c}
f_1( x_{n}) \\
 f_2(y_{n}) \\
\end{array}
\right]$

n=0: $(x_0,y_0)=(1,1)$
$\left[
\begin{array}{c}
 x_{1} \\
 y_{1} \\
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{c}
 x_0 \\
 y_0 \\
\end{array}
\right]-\left[
\begin{array}{cc}
 -\dfrac{1}{6 x}(x_0,y_0) & -\dfrac{1}{3 x} (x_0,y_0)\\
 \dfrac{2}{3 y}(x_0,y_0) & \dfrac{1}{3 y}(x_0,y_0) \\
\end{array}
\right]\left[
\begin{array}{c}
f_1( x_0,y_0) \\
 f_2(x_0,y_0) \\
\end{array}
\right]$

$\left[
\begin{array}{c}
 x_{1} \\
 y_{1} \\
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{c}
 1 \\
 1 \\
\end{array}
\right]-\left[
\begin{array}{cc}
 -\dfrac{1}{6 x}(1,1) & -\dfrac{1}{3 x} (1,1)\\
 \dfrac{2}{3 y}(1,1) & \dfrac{1}{3 y}(1,1) \\
\end{array}
\right]\left[
\begin{array}{c}
f_1( 1,1) \\
 f_2(1,1) \\
\end{array}
\right]$

$\left[
\begin{array}{c}
 x_{1} \\
 y_{1} \\
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{c}
 1 \\
 1 \\
\end{array}
\right]-\left[
\begin{array}{cc}
 -\dfrac{1}{6} & -\dfrac{1}{3} \\
 \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\
\end{array}
\right]\left[
\begin{array}{c}
-1 \\
-\dfrac{1}{2} \\
\end{array}
\right]$


$\left[
\begin{array}{c}
 x_{1} \\
 y_{1} \\
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{c}
 1 \\
 1 \\
\end{array}
\right]-\left[
\begin{array}{c}
\dfrac{1}{3} \\
-\dfrac{5}{6}\\
\end{array}
\right]$

$\left[
\begin{array}{c}
 x_{1} \\
 y_{1} \\
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{c}
\dfrac{2}{3} \\
\dfrac{11}{6}\\
\end{array}
\right]$

Siyah noktada baslayip ilk iterasyonla magenta noktasina geldik, bence bir iterasyon icin cok iyi. Amacimiz en yakin kirmizi koktaya ulasmak.


image Mathematica programi:

ClearAll["Global`*"]
val = Values@NSolve[{x^2 + y^2 - 3, -2 x^2 - y^2/2 + 2}, {x, y}];

F = {x^2 + y^2 - 3, -2 x^2 - y^2/2 + 2};
b = {x, y};
MatrixForm[J = Grad[F, b]];
MatrixForm[Jinv = Inverse[J]];
{x[0], y[0]} = {2, 1};
val2 = Prepend[Table[

{x[n + 1],
y[n + 1]} = {x[n],
y[n]} - (Jinv /. {x -> x[n], y -> y[n]}).(F /. {x -> x[n],
y -> y[n]}), {n, 0, 2}], {x[0], y[0]}] // N

{{2., 1.}, {1.08333, 1.83333}, {0.695513, 1.64394}, {0.587388,   1.63303}}

image
(2.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Epey uzun cevap yazmissin. Ellerine saglik :) 
Soran pek kurallar dahilinde sormamis. 

Kapatmaya yetişemedim.

20,285 soru
21,822 cevap
73,511 yorum
2,582,474 kullanıcı