Minimum fonksiyonunu nasil optimize edebilirim?

Question

Elimde 

$$f(x,y) = \min \left\lbrace x(1-y), -1+2y+\frac{y^2}{4(1+y)}, \frac{1-11x}{5}\right\rbrace$$

fonksiyonu var. Bu fonksiyonun

$$ \frac{2(\sqrt{10}-1)}{9} < y < 1 \quad, \quad 0 < x < \frac{1}{11}$$

bolgesinde maksimumunu ariyorum. Ne yapmam gerektigini anlayamadim bir turlu. (Bu makalede sayfa 156'yi anlamaya calisiyorum eger yardimci olacaksa.)

Comments

ikinci ve ucuncusu tek degiskenli. Hangisinin ustte kaldigini bulabiliriz. Daha sonra bu bolgelerde birinci ile kiyaslariz. Bu fikir calisir gibi?

Ek: Paydadaki 4 yerine + yazmissin onun duzenledim.

---

Ben de öyle düşündüm. Ama bu bana makaledeki bir sonraki adımı vermiyor, ya da ben anlamıyorum o adıma nasıl geçtiklerini. O üçüncü dereceden polinom nereden geldi mesela.

---

Mathematica analitik olarak olarak buluyor sonucu

 

$\left\{\text{max deger}=\frac{83-11 \sqrt{10}}{1262},x= \frac{77+5 \sqrt{10}}{1262},y=\frac{2}{9}
   \left(\sqrt{10}-1\right)\right\}$

 

f[x_, y_] := 
 Min[x (1 - y), -1 + 2 y + (4 y^2)/(4 (1 + y)), (1 - 11 x)/5]

Maximize[{f[x, y], 0 < x < 1/11, (2 (Sqrt[10] - 1))/9 < y < 1}, {x, 
   y}] // FullSimplify

NMaximize[{f[x, y], 0 < x < 1/11, (2 (Sqrt[10] - 1))/9 < y < 1}, {x, 
   y}] // N

Show[Plot3D[f[x, y], {x, 0, 1/11}, {y, (2 (Sqrt[10] - 1))/9, 1}, 
  PlotPoints -> 100, Mesh -> None], 
 Graphics3D[{Red, AbsolutePointSize@6, 
   Point[{(77 + 5 Sqrt[10])/1262, (2 (Sqrt[10] - 1))/9, (
     83 - 11 Sqrt[10])/1262}]}]]

ContourPlot[f[x, y], {x, 0, 1/11}, {y, (2 (Sqrt[10] - 1))/9, 1}, 
 PlotLegends -> Automatic, 
 Epilog -> {Red, AbsolutePointSize@5, 
   Point[{(77 + 5 Sqrt[10])/1262, (2 (Sqrt[10] - 1))/9}]}, 
 PlotPoints -> 100]

 

---

Ben olsam $\beta^*=\frac{2}{9} \left(\sqrt{10}-1\right)\in(\frac{2}{9} \left(\sqrt{10}-1\right),1)$   tabi acik kume bu, ne kadar mantikli dedigim bilmiyorum.

 

$\left(\beta -\frac{2}{9} \left(\sqrt{10}-1\right)\right) \left(\beta -\frac{2}{9}
   \left(-\sqrt{10}-1\right)\right)=9\beta ^2+4 \beta -4=0$ polinomunun bir koku olsun diye tanimlardim. Kubik polinom nerden gelmis ben de anamadim..

---

Benim eşim sormuştu bunu, buna gerek kalmadan halletti galiba. Teşekkürler ÖkkesDulgerci.