olasılık sorusu

Question

sadece 1 , 2 , 5 rakamları kullanılarak rakamları toplamı 10 olan tüm doğal sayılar eş kartlara yazılıp bir torbaya atılıyor . Bu torbadan rastgele çekilen bir sayının 5 ile bölünebilme olasılığı kaçtır ?

Comments

https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory) 

Once icinde yalnizca 1,2,5 olan sayilara bakmak lazim.

Sonra Permutasyonlara bakmak lazim

Mathematica ile cozum:

list = IntegerPartitions[10]


$\begin{array}{llllll}  \{10\} & \{9,1\} & \{8,2\} & \{8,1,1\} & \{7,3\} & \{7,2,1\} \\  \{7,1,1,1\} & \{6,4\} & \{6,3,1\} & \{6,2,2\} & \{6,2,1,1\} & \{6,1,1,1,1\} \\  \{5,5\} & \{5,4,1\} & \{5,3,2\} & \{5,3,1,1\} & \{5,2,2,1\} & \{5,2,1,1,1\} \\  \{5,1,1,1,1,1\} & \{4,4,2\} & \{4,4,1,1\} & \{4,3,3\} & \{4,3,2,1\} & \{4,3,1,1,1\} \\  \{4,2,2,2\} & \{4,2,2,1,1\} & \{4,2,1,1,1,1\} & \{4,1,1,1,1,1,1\} & \{3,3,3,1\} & \{3,3,2,2\} \\  \{3,3,2,1,1\} & \{3,3,1,1,1,1\} & \{3,2,2,2,1\} & \{3,2,2,1,1,1\} & \{3,2,1,1,1,1,1\} & \{3,1,1,1,1,1,1,1\} \\  \{2,2,2,2,2\} & \{2,2,2,2,1,1\} & \{2,2,2,1,1,1,1\} & \{2,2,1,1,1,1,1,1\} & \{2,1,1,1,1,1,1,1,1\} & \{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1\} \\ \end{array}$

Flatten@Map[FromDigits, Permutations /@ Pick[list,
ContainsAny[#, Complement[Range@10, {1, 2, 5}]] & /@ list,False], {2}]


Butun sayilarin listesi: 

$\begin{array}{llllllllll}  55 & 5221 & 5212 & 5122 & 2521 & 2512 & 2251 \\  2215 & 2152 & 2125 & 1522 & 1252 & 1225 & 52111 \\  51211 & 51121 & 51112 & 25111 & 21511 & 21151 & 21115 \\  15211 & 15121 & 15112 & 12511 & 12151 & 12115 & 11521 \\  11512 & 11251 & 11215 & 11152 & 11125 & 511111 & 151111 \\  115111 & 111511 & 111151 & 111115 & 22222 & 222211 & 222121 \\  222112 & 221221 & 221212 & 221122 & 212221 & 212212 & 212122 \\  211222 & 122221 & 122212 & 122122 & 121222 & 112222 & 2221111 \\  2212111 & 2211211 & 2211121 & 2211112 & 2122111 & 2121211 & 2121121 \\  2121112 & 2112211 & 2112121 & 2112112 & 2111221 & 2111212 & 2111122 \\  1222111 & 1221211 & 1221121 & 1221112 & 1212211 & 1212121 & 1212112 \\  1211221 & 1211212 & 1211122 & 1122211 & 1122121 & 1122112 & 1121221 \\  1121212 & 1121122 & 1112221 & 1112212 & 1112122 & 1111222 & 22111111 \\  21211111 & 21121111 & 21112111 & 21111211 & 21111121 & 21111112 & 12211111 \\  12121111 & 12112111 & 12111211 & 12111121 & 12111112 & 11221111 & 11212111 \\  11211211 & 11211121 & 11211112 & 11122111 & 11121211 & 11121121 & 11121112 \\  11112211 & 11112121 & 11112112 & 11111221 & 11111212 & 11111122 & 211111111 \\  121111111 & 112111111 & 111211111 & 111121111 & 111112111 & 111111211 & 111111121 \\  111111112 & 1111111111 & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ \end{array}$

Answer 1

Hadi kagit kalemle istenen durumlari ve tum durumlari sayalim. Zaten ne demisler "Whenever you can, count."

$\{1,2,5\}$ sayilarindan olusan ve toplami $10$ olan sayilarin kumesi sudur.

$\{5,5\},\{5,2,2,1\},\{5, 2, 1, 1, 1\},\{5, 1, 1, 1, 1, 1\},\{2, 2, 2, 2, 2\}, \{2, 2, 2, 2, 1, 1\}, \\\{2, 2, 2, 1, 1, 1, 1\}, \{2, 2, 1,1, 1, 1, 1, 1\}, \{2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\}, \{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\}$

$\{5,5\}$ kumesinden $\frac{2!}{2!}=1$ tane

$\{5,2,2,1\}$ kumesinden $\frac{4!}{2!}=12$ tane

$\{5, 2,1,1,1\}$ kumesinden $\frac{5!}{3!}=20$ tane

$\{5,1,1,1,1,1\}$ kumesinden $\frac{6!}{5!}=6$ tane

$\{2, 2, 2, 2,2\}$ kumesinden $\frac{5!}{5!}=1$ tane

$\{2, 2, 2, 2, 1,1\}$ kumesinden $\frac{6!}{4!2!}=15$ tane

$\{2, 2, 2,1,1, 1,1\}$ kumesinden $\frac{7!}{4!3!}=35$ tane

$\{2, 2,1,1,1,1,1,1\}$ kumesinden $\frac{8!}{2!6!}=28$ tane

$\{2,1,1,1,1,1,1,1,1,1\}$ kumesinden $\frac{9!}{8!}=9$ tane

$\{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1\}$ kumesinden $\frac{10!}{10!}=1$ tane

Toplam durum $128$ tane.

$5$ ile bolunebilmesi icin birler basamagi $5$ olmali. Icinde $5$ olan kumelerden, birler basamagi $5$ olacak sekilde kac tane sayi yazabiliriz ona bakalim.

$\{5,5\}$ kumesinden $1!=1$ tane

$\{5,2,2,1\}$ kumesinden $\frac{3!}{2!}=3$ tane

$\{5, 2,1,1,1\}$ kumesinden $\frac{4!}{3!}=4$ tane

$\{5,1,1,1,1,1\}$ kumesinden $\frac{5!}{5!}=1$ tane

Toplam istenen durum sayisi $9$ tane.

Olasilik $=\frac{9}{128}$ dir.

Comments

"Sadece 1,2,5 rakamları kullanılarak" ifadesinden ne anlamalıyız?  Sizin çözümde yaptığınız gibi anlamak mümkün. Ancak yazılacak her sayıda üç rakamında mutlaka kullanılması kastedilmiş olamaz mı? Yani $5221$ sayısı ile $52111$ sayısının rakamlarının yer değişiminden oluşan tüm sayılar. O zaman çözüm ve cevap değişecektir.

---

Ben boyle anladim, sizin dediginiz gibi olmasi icin sorunun "1,2,5 rakamları en az bir kez kullanılarak" seklinde olmali. Soruyu sorana sormak lazim.

---

Evet,aslında soruyu soranın (sorunun) ifadesi tek bir şekilde anlaşılmasına engel. Soru sahibinin bunu açıklaması gerekli.