Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
208 kez görüntülendi

sadece 1 , 2 , 5 rakamları kullanılarak rakamları toplamı 10 olan tüm doğal sayılar eş kartlara yazılıp bir torbaya atılıyor . Bu torbadan rastgele çekilen bir sayının 5 ile bölünebilme olasılığı kaçtır ?

Lisans Matematik kategorisinde (11 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 208 kez görüntülendi

https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory) 

Once icinde yalnizca 1,2,5 olan sayilara bakmak lazim.

Sonra Permutasyonlara bakmak lazim


Mathematica ile cozum:


list = IntegerPartitions[10]

$
\begin{array}{llllll}
 \{10\} & \{9,1\} & \{8,2\} & \{8,1,1\} & \{7,3\} & \{7,2,1\} \\
 \{7,1,1,1\} & \{6,4\} & \{6,3,1\} & \{6,2,2\} & \{6,2,1,1\} & \{6,1,1,1,1\} \\
 \{5,5\} & \{5,4,1\} & \{5,3,2\} & \{5,3,1,1\} & \{5,2,2,1\} & \{5,2,1,1,1\} \\
 \{5,1,1,1,1,1\} & \{4,4,2\} & \{4,4,1,1\} & \{4,3,3\} & \{4,3,2,1\} & \{4,3,1,1,1\} \\
 \{4,2,2,2\} & \{4,2,2,1,1\} & \{4,2,1,1,1,1\} & \{4,1,1,1,1,1,1\} & \{3,3,3,1\} & \{3,3,2,2\} \\
 \{3,3,2,1,1\} & \{3,3,1,1,1,1\} & \{3,2,2,2,1\} & \{3,2,2,1,1,1\} & \{3,2,1,1,1,1,1\} & \{3,1,1,1,1,1,1,1\} \\
 \{2,2,2,2,2\} & \{2,2,2,2,1,1\} & \{2,2,2,1,1,1,1\} & \{2,2,1,1,1,1,1,1\} & \{2,1,1,1,1,1,1,1,1\} & \{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1\} \\
\end{array}
$

Flatten@Map[FromDigits, Permutations /@ Pick[list,
ContainsAny[#, Complement[Range@10, {1, 2, 5}]] & /@ list,False], {2}]

Butun sayilarin listesi: 

$\begin{array}{llllllllll}
 55 & 5221 & 5212 & 5122 & 2521 & 2512 & 2251 \\
 2215 & 2152 & 2125 & 1522 & 1252 & 1225 & 52111 \\
 51211 & 51121 & 51112 & 25111 & 21511 & 21151 & 21115 \\
 15211 & 15121 & 15112 & 12511 & 12151 & 12115 & 11521 \\
 11512 & 11251 & 11215 & 11152 & 11125 & 511111 & 151111 \\
 115111 & 111511 & 111151 & 111115 & 22222 & 222211 & 222121 \\
 222112 & 221221 & 221212 & 221122 & 212221 & 212212 & 212122 \\
 211222 & 122221 & 122212 & 122122 & 121222 & 112222 & 2221111 \\
 2212111 & 2211211 & 2211121 & 2211112 & 2122111 & 2121211 & 2121121 \\
 2121112 & 2112211 & 2112121 & 2112112 & 2111221 & 2111212 & 2111122 \\
 1222111 & 1221211 & 1221121 & 1221112 & 1212211 & 1212121 & 1212112 \\
 1211221 & 1211212 & 1211122 & 1122211 & 1122121 & 1122112 & 1121221 \\
 1121212 & 1121122 & 1112221 & 1112212 & 1112122 & 1111222 & 22111111 \\
 21211111 & 21121111 & 21112111 & 21111211 & 21111121 & 21111112 & 12211111 \\
 12121111 & 12112111 & 12111211 & 12111121 & 12111112 & 11221111 & 11212111 \\
 11211211 & 11211121 & 11211112 & 11122111 & 11121211 & 11121121 & 11121112 \\
 11112211 & 11112121 & 11112112 & 11111221 & 11111212 & 11111122 & 211111111 \\
 121111111 & 112111111 & 111211111 & 111121111 & 111112111 & 111111211 & 111111121 \\
 111111112 & 1111111111 & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\
\end{array}$

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Hadi kagit kalemle istenen durumlari ve tum durumlari sayalim. Zaten ne demisler "Whenever you can, count."

$\{1,2,5\}$ sayilarindan olusan ve toplami $10$ olan sayilarin kumesi sudur.

$\{5,5\},\{5,2,2,1\},\{5, 2, 1, 1, 1\},\{5, 1, 1, 1, 1, 1\},\{2, 2, 2, 2, 2\}, \{2, 2, 2, 2, 1, 1\}, \\\{2, 2, 2, 1, 1, 1, 1\}, \{2, 2, 1,1, 1, 1, 1, 1\}, \{2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\}, \{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\}$

$\{5,5\}$ kumesinden $\frac{2!}{2!}=1$ tane

$\{5,2,2,1\}$ kumesinden $\frac{4!}{2!}=12$ tane

$\{5, 2,1,1,1\}$ kumesinden $\frac{5!}{3!}=20$ tane

$\{5,1,1,1,1,1\}$ kumesinden $\frac{6!}{5!}=6$ tane

$\{2, 2, 2, 2,2\}$ kumesinden $\frac{5!}{5!}=1$ tane

$\{2, 2, 2, 2, 1,1\}$ kumesinden $\frac{6!}{4!2!}=15$ tane

$\{2, 2, 2,1,1, 1,1\}$ kumesinden $\frac{7!}{4!3!}=35$ tane

$\{2, 2,1,1,1,1,1,1\}$ kumesinden $\frac{8!}{2!6!}=28$ tane

$\{2,1,1,1,1,1,1,1,1,1\}$ kumesinden $\frac{9!}{8!}=9$ tane

$\{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1\}$ kumesinden $\frac{10!}{10!}=1$ tane


Toplam durum $128$ tane.


$5$ ile bolunebilmesi icin birler basamagi $5$ olmali. Icinde $5$ olan kumelerden, birler basamagi $5$ olacak sekilde kac tane sayi yazabiliriz ona bakalim.


$\{5,5\}$ kumesinden $1!=1$ tane

$\{5,2,2,1\}$ kumesinden $\frac{3!}{2!}=3$ tane

$\{5, 2,1,1,1\}$ kumesinden $\frac{4!}{3!}=4$ tane

$\{5,1,1,1,1,1\}$ kumesinden $\frac{5!}{5!}=1$ tane


Toplam istenen durum sayisi $9$ tane.


Olasilik $ =\frac{9}{128}$ dir.

(2.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

"Sadece 1,2,5 rakamları kullanılarak" ifadesinden ne anlamalıyız?  Sizin çözümde yaptığınız gibi anlamak mümkün. Ancak yazılacak her sayıda üç rakamında mutlaka kullanılması kastedilmiş olamaz mı? Yani $5221$ sayısı ile $52111$ sayısının rakamlarının yer değişiminden oluşan tüm sayılar. O zaman çözüm ve cevap değişecektir.

Ben boyle anladim, sizin dediginiz gibi olmasi icin sorunun "1,2,5 rakamları en az bir kez kullanılarak" seklinde olmali. Soruyu sorana sormak lazim.

Evet,aslında soruyu soranın (sorunun) ifadesi tek bir şekilde anlaşılmasına engel. Soru sahibinin bunu açıklaması gerekli.

19,197 soru
21,073 cevap
70,145 yorum
23,731 kullanıcı