$\frac{1}{1-a} +\frac{1}{1-b} +\frac{1}{1-c} \geq \frac{2}{1+a} +\frac{2}{1+b} +\frac{2}{1+c}$

Question

Eğer $a,b,c$ pozitif ve $a+b+c=1$ ise $\frac{1}{1-a} +\frac{1}{1-b} +\frac{1}{1-c} \geq \frac{2}{1+a} +\frac{2}{1+b} +\frac{2}{1+c}$ eşitsizliğini kanıtlayın.

Answer 1

$x=\frac{1-a}{2}$, $y=\frac{1-b}{2}$, $z=\frac{1-c}{2}$ koyalım. $x$, $y$,
$z$ sayıları pozitif ve $x+y+z=1$ olur. Ayrıca

$1+a=2\left( 1-x\right) =2\left( y+z\right) $,  $1+b=2\left( 1-y\right)
=2\left( z+x\right) $, $1+c=2\left( 1-z\right) =2\left( x+y\right) $ olur.
Kolayca görüleceği gibi  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{%
x+y}$, $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{4}{y+z}$, $\frac{1}{z}+\frac{1}{x}
\geq \frac{4}{z+x}$ dir. Taraf, tarafa toplarsak
\[
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}+\frac{2}{%
x+y}
\]
elde edilir. Buradan eşitsizliğin doğru olduğu görülür.

Answer 2

yukarıdaki eşitsizlik $$ \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+  \frac{1}{a+b} \geq \frac{2}{2a+b+c}+\frac{2}{2b+a+c}+  \frac{2}{2c+a+b}$$ eşitsizliği ile aynıdır eğer paydadaki 1 ler yerine $a+b+c=1$ yazarsak daha sonra $$ \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c} \geq \frac{4}{b+c+a+c} \ A.O \geq H.O $$ diğer iki eşitsizliği de benzer şekilde elde edip taraf tarafa toplarsak istenen eşitsizlik bulunmuş olur