Question

$\sum_{i=0}^{\infty} 2^{-i} = 2$ midir?

Answer 1

$$S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}\ldots (1)$$

$$\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\ldots+\frac{1}{2^{n}} \ldots (2)$$

$$(1),(2)\Rightarrow S_n-\frac{1}{2}S_n=1-\frac{1}{2^n} \Rightarrow S_n=2-\frac{1}{2^{n-1}} $$

$$\Rightarrow$$

$$\sum_{i=0}^{\infty}2^{-i}=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=\lim_{n\rightarrow \infty} \left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)=2$$

Comments

pekala çok teşekkür ederim. ben de bu yaklaşımla çözmüştüm.

Answer 2

$\sum_{i = 1}^{\infty} = 1$'dir :

Elinde bir kare olsun. 

Birinci adimda bu kareyi yukaridan asagiya bir cizgiyle tam ortadan ikiye bol, ve sol yarisini karala.

Ikinci adimda karalamadigin alani al, soldan saga bir cizgiyla tam ortadan ikiye bol, ve altta kalan yariyi karala.

Ucuncu adimda karalamadigin alani al, yukaridan asagiya bir cizgiyle tam ortadan ikiye bol, ve sol yarisini karala.

Dorduncu adimda karalamadigin alani al, soldan saga bir cizgiyla tam ortadan ikiye bol, ve altta kalan yariyi karala.

....

Boyle devam edersen, bir sure sonra karenin icinde bulunan her noktanin karali alana dahil olmasi gerektigini gorursun. Bu da en yukaridaki iddiayi kanitlar.