$(2ty^2+y)dt+(t+2yt^2-t^4y^3)dy=0$

Question

integrasyon yöntemiyle çözülmesi gereken bir soru ama ben çıkartamadım .Şimdiden herkese teşekkürler

Comments

$$M(y,t)dt+N(y,t)dy=0$$ şeklindeki bir ifade, $M_y=N_t$ ise, tam (exact) diferansiyel denklem olarak adlandırılır. Verilen denklemde böyle bir eşitlik yoktur. Bu ifadeyi tamlaştırmak için, denklem İNTEGRASYON ÇARPANIyla çarpılır. Sonra, tamlaşan denklem kolaylıkla integre edilebilir.

Aramanız gereken şey, tam olmayan bir diferansiyel denklemin nasıl tamlaştırılacağıdır. 

---

soruda zaten integrasyon yöntemiyle çözülmesi gerekiyor demiştim . Ben bu integrasyon çarpanını bulamadım üç ihtimali de denetim t'ye bağlı, y'ye bağlı ty'ye bağlı ama çözemedim ondan buraya yazdım

---

$m,n\in\mathbb{Z}$ olmak üzere denklemde her bir terimi $y^m\cdot t^n$ ile çarp. Sonra da Yasin hocanın da ifade ettiği gibi $M_y=N_t$ olması için $m$ ve $n$ tamsayılarının ne olması gerektiğini bulmaya çalış. Bu sayıları bulabilirsen gerisi kolay.

---

yukarıda da dediğim gibi 3 ihtimali de 3 'er kez denedim ama sonucu çıkartamadım (yani dediğiniz formülü de denedim ) sanırım işlem hatası yapıyorum . Çözümü yazabilecek olan yok mu?

---

Yaptığın işlemleri yaz. Birlikte kontrol edelim.

---

Biraz daha yardımcı olayım. Yukarıda yazdığım yorum doğrultusunda ilerlersen $$m=n=-4$$ çıkıyor. Dolayısıyla ilgili dif. denklemin her bir terimini $$t^{-4}\cdot y^{-4}$$ ile çarparsan bir tam dif. denklem elde edersin. Tam dif. denklemleri çözmek ise kolay. Geri kalan kısmını sana bırakıyorum.

---

https://i.imgyukle.com/2019/07/31/kf4zAH.jpg

herkese teşekkürler çözümü yaptım hatam sadeleştirme yaparken oluşmuş cevap 4/(xy) olması gerekirken ben  4/(x-y) şeklinde çözüm bulup işin içinden çıkamıyordum . Sorunun devamını isteyen ya da merak eden olursa paylaşabilirim . Herkese teşekkürler

---

cevabınıza baktım şunu anlayamadım.Tam diferansiyel yapmak için kullanacağımız formül $ \dfrac {N_{y}-M_{t}}{M} $ veya $ \dfrac {M_{t}-N_{y}}{N} $ bu diye biliyorum. Sizinkisinde payda kısmında y ve t çarpanları mevcut . Benim yazdığım formül hatalı mı ?

---

integrasyon çarpanının üçüncü bir kuralı daha var ty çarpanlarına bağlı olma durumu o duruma bağlı olarak çözdüm işlemi

---

Soruyu kapatmak yerine bulduğun çözümü eklemen, sonraki okuyucular için daha iyi olacaktır.

Answer 1

Tam olmayan $$(2ty^2+y)dt+(t+2yt^2-t^4y^3)dy=0$$ dif. denklemi için bir integrasyon çarpanının nasıl bulunacağını ve $$t^{-4}\cdot y^{-4}$$ ifadesinin de ilgili dif. denklem için bir integrasyon çarpanı olacağını yorumda söylemiştik. Şimdi bu bilgiler ışığı altında ilgili dif. denklemin çözümünü bulalım: $$(2ty^2+y)dt+(t+2yt^2-t^4y^3)dy=0$$ dif. denkleminin her bir terimini $$t^{-4}\cdot y^{-4}$$ ile çarparsak $$(2t^{-3}y^{-2}+t^{-4}y^{-3})dt+(t^{-3}y^{-4}+2y^{-3}t^{-2}-y^{-1})dy=0$$ elde edilir. Buradan da gerekli düzenlemeleri yaparsak $$2t^{-3}y^{-2}dt+2y^{-3}t^{-2}dy+t^{-4}y^{-3}dt+t^{-3}y^{-4}dy-y^{-1}dy=0$$$$\Rightarrow$$$$d(t^{-2}y^{-2})+\frac13d(t^{-3}y^{-3})+y^{-1}dy=d(c)$$$$\Rightarrow$$ $$\int d(t^{-2}y^{-2})+\frac13\int d(t^{-3}y^{-3})+\int y^{-1}dy=\int d(c)$$$$\Rightarrow$$ $$t^{-2}y^{-2}+\frac13t^{-3}y^{-3}+\ln y=c$$ bulunur. (c:sabit)