Düzlemin bir $\Re$ bölgesinde tanımlı , x ve y bağımsız değişkenlerine bağımlı $z=f(x,y)$ fonksiyonu verilsin . Varsayalım ki : Bize bu fonkisyonun tanım kümesinin ( yani $\Re$ ) yığılma noktaları kümesine ait bir elemanında ki limiti soruluyor .
$\Re$ nin yığılma noktaları kümesi $S$ olsun. Bu durum da $\Re \subset S$ olur.
$(x_0,y_0) \in S$ ise $\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y)$ limitinin varlığını ya da yokluğunu göstermek istiyoruz .
Ardışık limitlere bakıp her ikisi de $L\in R$ olursa (Elbette ki ardışık limitlerin $L$ ye yaklaşması Limitin varlığını garanti etmez) limitin iki değişkenli fonksiyonlar için genelleştirilmiş resmi tanımını kullanarak var olduğunu ve $L$ ye eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım. Eğer kanıtlarsak limit aşikar olarak $L$ ye eşittir . Eğer kanıtlayamazsak limitin $L$ ye eşit olmadığını kanıtlamaya çalışalım. Eğer limitin $L$ ye eşit olmadığını kanıtlarsak demek ki bu limit yoktur. Çünkü limit varsa ardışık limitlerin yaklaştığı $L$ ye eşit olmak zorundadır. Buradan da anlaşılıyor ki iş bayağı yorucu .
Çoğunlukla limitin olmadığı durumlarla karşılaşıyoruz. Ve bir takım hamleler yapıyoruz (Murad hocanın paylaşımında ki çözüm gibi) ve bu hamleler sonrasında genellikle ''limit noktaya nasıl yaklaştığımıza bağlı olarak değiştiğinden limit yoktur'' diyoruz. Murad hocanın sorusunda ki fonksiyon tipini içeren bir limit sorusuyla karşılaştığımızda bu hamleler bize limitin varlığına ya da yokluğuna dair fayda sağlamıyor .
Peki (resmi tanımı kullanmadan) ne yapmalıyız ki, kesin olarak limit in bize varlığını garanti edip bir $L$ ye yaklaştığı söylesin ve $L$ yi bulalım ya da aksi takdirde garanti olarak limitin yok olduğunu göstersin.