Çok değişkenli fonksiyonlar hakkında

Question

çok değişkenli bir fonksiyon var ve kısmi türevleri sürekli olsun , bu durumda türevlenebilir mi ?

Bu zaten çok değişkenli fonksiyonlarda türevlenebilirliğin tanımı değil mi ?

$\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{f(x,y)-(f(a,b)+A(x-a)+B(y-b))}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}}=0$ bu tanım mı kullanılmalı soruyu cevaplamak için ?

Comments

mbugday, 

Yazdığın (limit içeren) koşul, türevlenebilmenin  (bir) tanımı. (çoğu zaman diferansiyellenebilme deniyor).

(Diferansiyellenebilmenin eşdeğer bir tanımı da var)

Ama, bunun sağlandığını  göstermek o kadar basit değil.

O nedenle, ilk yazdığın YETER (gerekli DEĞİL) koşul kullanılır. O bir Teoremdir.

Tam ifadesini ve ispatını (Diferansiyellenebilmenin eşdeğer tanımı ile)

http://Matematik.cu.edu.tr/Dersler/MT132/DiferansiyellenebilmeYeterKosulu.pdf

de bulabilirsin.

Diferansiyellenebilmenin iki tanımın eşdeğer olduğunu da

 http://matematik.cu.edu.tr/Dersler/MT132/DiferansiyellenebilmeTanimi.pdf

de bulabilirsin.

---

Hocam bu yazdığım soru sözlü mülakatta sorulmuş bir soru . Sizin attığınız linkleri inceledim ve yapılan kanıt baya uzun . Sözlü olarak nasıl cevap verilebilir ?

---

Orada yazılanlar,

"çok değişkenli bir fonksiyon var ve kısmi türevleri sürekli olsun , bu durumda türevlenebilir mi ?"

sorusunun cevabının "Evet" olduğunu gösteriyor.

Answer 1

Çok değişkenli fonksiyonlarda, "türevlenebilme" bir değişkenli fonksiyonlara pek benzemez.

Örneğin $f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2},\ \ (x,y)\neq(0,0)\\ 0\qquad\quad  (x,y)=(0,0)\end{cases}$ fonksiyonu, $(0,0)$ noktasında her iki değişkene göre de kısmi türeve sahiptir ama o noktada sürekli değildir (bu, doğrular boyunca limit tekniği ile görülür). Bu ise 1-değişkenli fonksiyonlardakinden farklı bir durumdur.

Bu nedenle, çok değişkenli fonksiyonlarda, "diferansiyellenebilme" (söyleme ve yazma zorluğu nedeniyle "türevlenebilme" denebilir) diye adlandırılan farklı bir kavram kullanılır. Bu yeni tanım 1-değişkenli fonksiyonlardaki türevlenebilmeye çok benzer davranır.

Bir tanımı: ($f,\ (a,b)$ merkezli bir dairede tanımlı bir fonksiyon olsun)

$\lim_\limits{(x,y)\to(a,b)}\dfrac{f(x,y)-(f(a,b)+A(x-a)+B(y-b))}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}}=0$

olacak şekilde $A,B$ gerçel sayıları varsa, $f$ fonksiyonu $(a,b)$ noktasında diferansiyellenebilirdir denir.

(Yorumlardaki bağlantıda aşağıdaki teoremin ispatı, oradaki iki teoremi birleştirerek, var)

Teorem: $f(x,y), (a,b)$ merkezli bir dairede tanımlı, bu dairenin her noktasında $\frac{\partial f}{\partial x}$ ve $\frac{\partial f}{\partial y}$ var ve bu kısmi türevler $(a,b)$ noktasında sürekli iseler, $f,\ (a,b)$ noktasında diferansiyellenebilirdir (ayrıca: $A=\frac{\partial f}{\partial x}(a,b),\ B=\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$ olur) (Daha fazla sayıda değişkenli fonksiyonlar için de bu durum geçerlidir)

Önemli : Ama bu teoremin karşıtı doğru bir iddia değildir.

(Bir değişkenli fonksiyonlarda benzer bir diferansiyellenebilirlik tanımı yapıldığında diferansiyellenebilirlik=türevlenebilirlik diyebileceğimiz aşağıdaki durum ortaya çıkıyor)

Teorem: $f$ bir $a$ sayısını içeren bir açık aralıkta tanımlı, 1-değişkenli bir fonksiyon olsun. O zaman:

$f$ nin $a$ da türevi vardır $\Leftrightarrow\ f,\ a$ da diferansiyellenebilirdir.

(İspatı kolay)

Comments

Daha genel olarak   $$\lim_\limits{x\to x_0}\dfrac{||f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)||}{||x-x_0||}=0$$ olacak şekilde bir $$L:\mathbb{R^n}\to\mathbb{R^m}$$ lneer dönüşümü varsa $f:\mathbb{R^n}\to\mathbb{R^m}$ dönüşümü diferansiyellenebilirdir de diyebiliriz.