Çok değişkenli fonksiyonlarda, "türevlenebilme" bir değişkenli fonksiyonlara pek benzemez.
Örneğin f(x,y)={xyx2+y2, (x,y)≠(0,0)0(x,y)=(0,0) fonksiyonu, (0,0) noktasında her iki değişkene göre de kısmi türeve sahiptir ama o noktada sürekli değildir (bu, doğrular boyunca limit tekniği ile görülür). Bu ise 1-değişkenli fonksiyonlardakinden farklı bir durumdur.
Bu nedenle, çok değişkenli fonksiyonlarda, "diferansiyellenebilme" (söyleme ve yazma zorluğu nedeniyle "türevlenebilme" denebilir) diye adlandırılan farklı bir kavram kullanılır. Bu yeni tanım 1-değişkenli fonksiyonlardaki türevlenebilmeye çok benzer davranır.
Bir tanımı: (f, (a,b) merkezli bir dairede tanımlı bir fonksiyon olsun)
lim(x,y)→(a,b)f(x,y)−(f(a,b)+A(x−a)+B(y−b))√(x−a)2+(y−b)2=0
olacak şekilde A,B gerçel sayıları varsa, f fonksiyonu (a,b) noktasında diferansiyellenebilirdir denir.
(Yorumlardaki bağlantıda aşağıdaki teoremin ispatı, oradaki iki teoremi birleştirerek, var)
Teorem: f(x,y),(a,b) merkezli bir dairede tanımlı, bu dairenin her noktasında ∂f∂x ve ∂f∂y var ve bu kısmi türevler (a,b) noktasında sürekli iseler, f, (a,b) noktasında diferansiyellenebilirdir (ayrıca: A=∂f∂x(a,b), B=∂f∂y(a,b) olur) (Daha fazla sayıda değişkenli fonksiyonlar için de bu durum geçerlidir)
Önemli : Ama bu teoremin karşıtı doğru bir iddia değildir.
(Bir değişkenli fonksiyonlarda benzer bir diferansiyellenebilirlik tanımı yapıldığında diferansiyellenebilirlik=türevlenebilirlik diyebileceğimiz aşağıdaki durum ortaya çıkıyor)
Teorem: f bir a sayısını içeren bir açık aralıkta tanımlı, 1-değişkenli bir fonksiyon olsun. O zaman:
f nin a da türevi vardır ⇔ f, a da diferansiyellenebilirdir.
(İspatı kolay)