$f(x)=2x^3 +x^2+x+1$ fonksiyonunun bir tek kökünün olduğunu gösteriniz.(ipucu: önce ara değer teoremi ile A=(-1,0) aralığında kökün olduğunu sonra Rolle Teoremi ile kökün tekliğini gösteriniz)

Question

Soruda ara değer teoremini uyguladım ancak rolle teoremini kullanabileceğim şekilde bulamadım.

Comments

Rolle teoremi ne diyor? Yazabilir misin? Neler denediğini de yazarsan takıldığın yerlere beraber bakabiliriz.

---

Rolle teoremi f,[a,b]'de sürekli (a,b) türevlenebilir ve f(a)=f(b) olsun. Bu taktirde;f ' (c)= 0 olacak şekilde en az bir c€(a,b) vardır. Diyor ancak soruda ara değer teoremi kullandığım zaman f(a)=f(b) olmuyor.

---

Bir tane kök olduğunu göstermek istiyorsun değil mi? O zaman şöyle başla:

Diyelim ki iki tane kök olsun: $f(a) = f(b) = 0$. O zaman öyle bir $c$ bulabilirim ki $f'(c)=0$ olsun. Sana sorum: $(-1,0)$ aralığında $f'(c)=0$ olacak şekilde bir $c$ bulabilir misin?

---

Dediğinizden yola çıkarak bir çözüm yaptım çok teşekkür ederim.

---

Rica ederim. Bak böyle ne yaptığını ne bildiğini yazınca soruyla birlikte, yardım etmek de çok kolay oluyor. Güzel çözüm.

Answer 1

Kök varlığı (ara değer teoremi ile): polinomalar tüm noktalarda sürekli ve türevlenebilirdir. f(-1)=-1 f(0)=1 dir. Her c€(-1,1) için f(c)=c olacak şekilde en az bir c€(-1,0) vardır. Teklik (Rolle teoremi ile): f:[a,b] —> R sürekli olsun.Eğer f fonksiyonu türevlenebilir ve f(a)=f(b) ise en az bir c€f’(c)=0 vardır. Varsayalım ki kök tek olmasın ve bu kökler z ve y olsun f(z)=0 ve f(y)=0 olsun.f’(x)= 6(x^2)+2x+1 => c€(z,y) vardır.f’(c)= 6(c^2)+2c+1=0 olacak şekilde c olmayıp çelişki bulunur.O halde iki kök mevut olmayıp kök tektir. Tarzında bir çözüm yaptım.(İlk fırsatta latex öğrenip düzgün bir şekilde yazım yapacağım.)