Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
754 kez görüntülendi
$x,y\in [0,\infty)$ olmak üzere $$\frac{x^2+y^2}{4}\leq e^{x+y-2}$$ olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 754 kez görüntülendi

$ x=0,y=-1 $
 için eşitsizlik doğru degil hocam,

Düzenledim Anıl.

Benim çözümde, Aritmetik-Geometrik Ortalama eşitsizliğini ters yazmışım. Düzelteceğim.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Düzeltilmiş şekli:

( $\forall\ x,y\geq0$ için) $x^2+y^2\leq (x+y)^2$ olur.

Üstel fonksiyonla ilgili (türevle gösterilebilen veya üstel fonksiyonun tanımdan elde edilebilen)

$\forall\ u\in\mathbb{R}$ için $e^u\geq1+u$ eşitsizliğini kullanacağız.

Bu eşitsizlikten, $\forall\ u\in\mathbb{R}$ için $e^{u-1}\geq u$  elde edilir.

Bunları birleştirerek (ve $u=\frac{x+y}2$ aldığımızda  $u\geq0$ olur)

( $\forall\ x,y\geq0$ için) $\frac{x^2+y^2}4\leq \frac{(x+y)^2}4=u^2\leq(e^{u-1})^2=e^{2u-2}=e^{x+y-2}$

elde edilir.
(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Hocam ispatta $\frac{x^2+y^2}{2}\geq \sqrt{x^2y^2}=xy$           olması gerekmez miydi?

Teşekkürler. Düzelttim.

20,238 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,054,213 kullanıcı