Yüzeyin denkleminin z2−xy−3x+9=0 olduğunu varsayarak çözüm (katsayılar farklı olsa da benzer şekilde çözülür)
Bu eşitliği sağlayan noktalar kümesinde x2+y2+z2 minimum yapılmak isteniyor.
x2+y2+z2=x2+y2+(xy+3x−9) iki değişkenli fonksiyonunun minimum değerini aldığı nokta bulunarak kolayca yapılabilir.
Onu bilmeyenler için (basit ama çözümü bilmekten kaynaklandığı için biraz hileli) bir yol var:
x2+y2+xy+3x=(x+2)2+(y−1)2+(x+2)(y−1)−3=u2+uv+v2−3
(u=x+2, v=y−1)
u2+v2+uv=(u+12v)2+34v2 dir
Bu nedenle u2+v2+uv minimum değerine (u+12v=v=0 yapan yegane değerler olan) u=v=0 değerleri için ulaşır.
Bu nedenle x2+y2+xy+3x minimum değerine x=−2, y=1 iken ulaşır.
Gerisi kolay.