Question

$z^2-xy-3x+9$ yüzeyi üzerinde orijine en yakın olan nokta veya noktalar ?

nerden başlamam gerekiyor tam olarak,nasıl düşünmeliyim ?

Comments

Yüzey üzerinde bir $P(x,y,z)$  noktası alıp bu noktanın $(0,0,0)$ orijinine uzaklığının karesi olan $x^2+y^2+z^2$ değerini minimize etmek gerekir.

---

bunu verilen denklemle nasıl bağdaştıracağım ?

---

Lagrange çarpanını araştırın. Sitede vardı  

---

o konuyu işlemedik yalnız,soru çok anlamsız geldi bana o yüzden.belki oraya kadarlık kısımlada çözülebiliyodurda,hayal gücüm yetemedi :)

---

Verilen denklemden $z^2$ yi çözüp orijinden uzaklığı 2 değişkenli olarak yazmayı deneyebilirsin.

---

Bu yüzeyin "denkleminde" bir eşit işareti olması gerekmez mİ?

---

sınav sorusuymuş hocam,aynı bu şekilde :/

---

Soru biraz eksik olmuş. Sanırım "$z^2-xy-3x+9=0$ yüzeyi" kastediliyor.

Yazıldığı şekilde, $(0,1,2)$ noktası bu yüzey üzerinde mi değil mi ben karar veremiyorum.

---

acaba $z^2=-xy-3x+9$ şeklinde olabilirmi

Answer 1

Yüzeyin denkleminin $z^2-xy-3x+9=0$ olduğunu varsayarak çözüm (katsayılar farklı olsa da benzer şekilde çözülür)

Bu eşitliği sağlayan noktalar kümesinde $x^2+y^2+z^2$  minimum yapılmak isteniyor.

$x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+(xy+3x-9)$ iki değişkenli fonksiyonunun minimum değerini aldığı nokta bulunarak kolayca yapılabilir.

Onu bilmeyenler için (basit ama çözümü bilmekten kaynaklandığı için biraz hileli) bir yol var:

$x^2+y^2+xy+3x=(x+2)^2+(y-1)^2+(x+2)(y-1)-3=u^2+uv+v^2-3$ 

$(u=x+2,\ v=y-1)$

$u^2+v^2+uv=(u+\frac12v)^2+\frac34v^2$ dir

Bu nedenle $u^2+v^2+uv$ minimum değerine ($u+\frac12v=v=0$ yapan yegane değerler olan) $u=v=0$ değerleri için ulaşır.

Bu nedenle $x^2+y^2+xy+3x$ minimum değerine $x=-2,\ y=1$ iken ulaşır.

Gerisi kolay.