Lineer denklemlerde sıralı ikili sayısını OKEK ile bulma yönteminin ispatı

Question

x ve y doğal sayılar olsun.

ax+by=c denkleminde c hem a'nın hem b'nin katıysa sıralı ikili (x, y) sayısı c sayısını a ile b'nin OKEK'ine bölüp 1 ekleyerek bulunur.

x ve y pozitif tam sayılar olsaydi c sayısını a ve b'nin OKEK'ine bölüp 1 çıkaracaktık.

Örneğin x ve y'nin doğal sayı olduğu bir durumda 3x+5y=120 denklemini sağlayan sıralı ikili sayısını 120'yi 15'e bölüp 1 ekleyerek bulabiliriz.

Bunun neden böyle olduğunu bir türlü anlayamıyorum. Çok uğraşmama rağmen ispatını yapamadım. Nedenini açıklarsanız veya ispatını yaparsanız çok memnun olurum.

Answer 1

$x$ ve $y$ doğal sayılar dediği için $1$ ekleriz niye çünkü işin içinde sıfır var.. Pozitif tam sayılar dediği zamanda $x$ veya $y$ sıfır değerini alamadığından $1$ çıkarırız

Comments

Cevabınız için teşekkür ederim. OKEK'e neden bölündüğünü anlayamadım.

---

Bu pratik bir çözüm falan değil  mesela $5x+6y=125$ eşitliğini sağlayan kaç tane $(x,y)$ ikilisi $(x,y \in\mathbb{N})$ vardır desem?  Zamanında kullandık :) ben ispatlayamadım uydurulmuş çözüm tekniğini

---

Anladım hocam. Sabit sayıyı OKEK'e bölüyoruz ki x veya y degerini bulmaya çalışırken sonuç tam sayı çıksın. Cevapladığınız için teşekkür ederim.