Sayılar ile OBEB'leri ve OKEK'leri arasındaki eşitsizlik

Question

$a,b$ iki pozitif tam sayı ve  $OBEB(a,b)=x$ ve $ OKEK(a,b)=y$ ise,  $a+b\leq x+y$ olduğunu ispatlayınız.

Answer 1

Çözüm: $a=xn$, $b=xm$, $y=xmn$ olacak şekilde aralarında asal $m, n$ pozitif tam sayıları vardır.

 

Şakkadanak* $(m-1)(n-1) \geq 0$ olduğundan $mn +1 \geq m + n $ elde edilir. Her iki tarafı $x$ pozitif tam sayısı ile çarparsak

$$  mx + nx \leq mnx + x $$

olup

$$ a + b \leq x + y $$

elde edilir. Ayrıca eşitlik durumu $m=1$ veya $n=1$ iken geçerlidir.

 

*Şakkadanak Yazdığımız Eşitsizliğin Motivasyonu: Kanıtlamamız istenen $ a + b \leq x + y $ eşitsizliğine denk olan başka eşitsizlikler yazarak doğruluğunu bildiğimiz bir eşitsizliğe ulaşmayı deneyebiliriz:

$ a + b \leq x + y \iff mx + ny \leq mnx + x \iff m + n \leq mn + 1 \iff (m-1)(n-1) \geq 0$. Bu son eşitsizliğin doğru olması için gerek ve yeter şart ilk eşitsizliğin doğru olmasıdır. $m, n$ pozitif tam sayılar olduğundan $(m-1)(n-1) \geq 0$ eşitsizliği de açıkça doğrudur. Çift yönlü gerektirmeler ile ilerleme eşitlik/eşitsizlik ispatlarında kullanılan basit ve yaygın biçimde kullanılan bir fikirdir. Paylaşmış olalım.

Comments

Elinize ve emeinize sağlık Lokman hocam. Çok güzel olmuş.

Answer 2

Önbilgi:
Pozitif gerçel sayılar dünyasında
çarpımlar aynı ise sayılar uzaklaştıkça toplam büyür. 

Kullanımı:
$xy=ab$ ve $x\le a ,b\le y$ eşitliği sağlanıyor.

Comments

Sercan hocam ön bilgide söylediğinizin ispatı gerekmez mi?

---

Ben önbilgi olarak verdim.

Answer 3

$ a,b$  iki pozitif tamsayı, $OBEB(a,b)=x, OKEK(a,b)=y$ olsun. Sitede $a.b=x.y$ 'nin ispatı var diye biliyorum.

$x\leq a\Rightarrow x-a\leq0$

$a\leq y\Rightarrow y-a\geq0$ dir.  Bu ikisinden

$(x-a)(y-a)\leq0\Rightarrow  xy-ax-ay+a^2\leq 0$   

$xy+a^2\leq ax+ay$  bulunur.   Eğer  $a.b=x.y$  olduğu kullanılırsa,

$a.b+a^2\leq a.x+a.y\Rightarrow a+b\leq x+y$    olur.