İkinci dereceden denklemin kökleri

Question

$a\neq0$ olmak üzere;

$ax^2+bx+c=0$ denklemini sağlayan değerler:

$$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, x_2=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Bu ifadelerin nasıl bulunduğuna dair internette ve sitede arattım. Verilen tek çözüm tam kareye tamamlayarak yapılan yöntem. Bu ifadeleri elde etmek için tam kareye tamamlama dışında bir yol var mı?

Comments

Yine tam kareye tamamlama ama ilgini çeker belki. Hint metodu. Bunun dışında birinci dereceden iki polinomun çarpımı olarak yazarak kökleri araştırabiliriz. 

Answer 1

Kolaylık olması için önce $x^2+Bx+C=0$ denkleminin köklerini bulalım. 

Daha sonra $ax^2+bx+c=0$ denkleminin köklerini bulmak zor olmayacaktır.

$x^2+Bx+C=0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ olsun.

$x_1=u+v,\ x_2=u-v$ olacak şekilde (tek) bir $(u,v)$ ikilisi vardır. Onları bulacağız.

$(u+v)^2+B(u+v)+C=0$ ve $(u-v)^2+B(u-v)+C=0$  olur.

Bunları açarsak:

$(u^2+v^2)+B(u+v)+2uv+C=0$ ve $(u^2+v^2)+B(u-v)-2uv+C=0$ elde ederiz. Taraf tarafa çıkarırsak:

$2Bv+4uv=0$ buluruz. Buradan  

1) $v=0$ veya 

2)  $u=-\frac B2$  

olmalıdır.

Önce $v=0$ durumunu inceleyelim.

Bu durumda $x_1=x_2$ olacaktır, yani tek bir gerçel kök olacaktır.

Bu da her $z\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ için, $x_1+z=u+z$ nin denklemin kökü olmaması, yani:

$z\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ için  $(u+z)^2+B(u+z)+C\neq0$ olması demektir. Bunu açınca:

$z\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ için   $(u^2+Bu+C)+z(z+B+2u)\neq0$ olur. $u^2+Bu+C=0$ olduğu için:

$z\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ için   $z(z+B+2u)\neq0$ olmalıdır. 

Ama $z=-B-2u$ için bu çarpım 0 dır. Öyleyse $-B-2u=0$ yani yine $u=-\frac B2$ elde edilir. 

Öyleyse, mutlaka $u=-\frac B2$ olmalıdır.

Bunu  (denklemlerden birinde) yerine yazınca:

$$\frac{B^2}4+v^2-\frac{B^2}2+Bv-Bv+C=0$$ dan $v^2=\frac{B^2-4C}4$, dolayısıyla $v=\pm\frac{\sqrt{B^2-4C}}2$ elde edilir.

Bu da $\{x_1,x_2\}=\left\lbrace-\frac B2+\frac{\sqrt{B^2-4C}}2,-\frac B2-\frac{\sqrt{B^2-4C}}2\right\rbrace$ olması demektir.

Ek: Tüm bu işlemler, yalnızca $\mathbb{R}$ için değil, karakteristiği 2 olmayan tüm cisimlerde geçerlidir.

Comments

Bu denklemde, köklerin toplamını $-B$ olmasından da, kolayca, $u=-\frac B2$ olduğu sonucuna varılıyor ama onu kullanmadan yapmak istedim. 

$v=0$ durumunda yapılan işlemlerden,  en çok iki farklı kök olacağı görülüyor.