Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
4.2k kez görüntülendi

$(m^2-9)x^2 + 5x + 2m + 5 = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ve $ x_2$ dir.

$ x_1<1<x_2$ olduğuna göre m kaç farklı tam sayı değeri alabilir?

iki farklı kök olduğu için diskriminant 0'dan büyüktür dedim. $-8m^3 + 20m^2 - 72m - 155 > 0$ gibi bir ifade geldi. çıkamadım içinden aklıma da başka bir şey gelmiyor..

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (133 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 4.2k kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Esitsizlikten $1$ cikartirsak $$x_1-1<0<x_2-1$$ olur. Demek ki $$(x_1-1)(x_2-1)<0$$ saglanmali. Bu da $$x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac{2m+5}{m^2-9}+\frac{5}{m^2-9}+1<0$$ yani $$\frac{(m+1)^2}{(m-3)(m+3)}<0$$ demek. 

(25.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

teşekkür ederim :)

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$f(x)=ax^2+bx+c$ parabolünün $x$ eksenini kestiği noktalar $x_1,x_2$ olsun.  Eğer  $x_1<k<x_2$  ise $a.f(k)<0$ dır.  $a=m^2-9,\quad k=1$  olduğundan $(m^2-9).[m^2-9+5+2m+5]<0$ olmalıdır. Buradan $(m^2-9)(m^2+2m+1)=(m-3)(m+3)(m+1)^2<0$ olur. $m\neq -1$ için $(m+1)^2>0$ olduğundan $-3<m<3$ olmalıdır. Demek ki $m\in\{-2,0,1,2\}$ olmalıdır.



(19.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

$-1$'i de disa almak gerekli hocam.

Evet haklısınız. Düzeltiyorum. Çok teşekkürler.

Ancak her iki çözümünde $\triangle=-8m^3-20m^2+72m+205>0$ koşulunda doğru olduğunu unutmamalıyız.

Bu kosulu kontrol etmeye gerek yok. $a \cdot f$ parabolunun kollari yukariya dogru. Eger $af(k)<0$ saglanirsa $a\cdot f$ polinomumun ve dolayisiyla da $f$ polinomunun iki koku vardir. 

İki kök varsa $a.f(k)$ nın işareti kolların yönünden bağımsız olarak daima negatiftir. Aslına bakılırsa sorunun ifadesine göre de iki kök var! Ama bazen iki kök veriliyor fakat kontrol edildiğinde olmadığı ortaya çıkıyor.

19,952 soru
21,590 cevap
72,690 yorum
953,857 kullanıcı