$1$'den $10^n$'ye kadar kaç tane $a$ rakamı bulunur.

Question

$n\in\mathbb{N^+}$ ve $a$, $0$ dışında bir rakam olsun.

$1$'den $10^{n}$ sayısına kadar ($1$ dahil ama $10^{n}$ dahil değil) olan sayıların içinde kaç tane $a$ rakamı bulunur.

Ben sorunun cevabını $\displaystyle\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}.k.9^{n-k}$ buldum. Bazı $n$ değerleri için denediğimde sonucun $n\geq2$ için $10$'un katı olduğunu farkettim sorunun cevabını başka bir yolla bularak $10$'un katı olduğu gösterilebilir mi?

Comments

Bulduğun cevabı biraz açıklayabilir misin?

---

Bunun sayisini tam veren birkac soru cozmustum.

$000$
$001$
  $\vdots$
$999$

Bu sekilde bir yazimda her rakam esit miktarda gozukur degil mi? Bastaki sifirlari atinca sadece sifirlarin sayisi degisir.

---

Hocam $\displaystyle\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}.k.9^{n-k}$ sonucunu şöyle buldum:

$1$'den $10^n$'ye kadar olan sayıların tamamını genel olarak $a_1a_2\cdots a_n$ şeklinde ifade edelim.

Bu sayıları $1$ tane $a$ içerenler $2$ tane $a$ içerenler vs. diye ayıralım.

$k\le n$ için genel olarak içerisinde $k$ tane $a$ rakamını içerenleri şöyle ifade edebiliriz:

$n$ sayıdan $k$ tanesini $\binom{n}{k}$ farklı şekilde seçeriz.

$k$ tane $a$ rakamı seçildiğinden bulunan sonucu $k$ ile çarparız.

alınan $k$ tane $a$ rakamı harici kalan her $n-k$ sayı için 9 tane seçenek vardır.(Sercan hocamın yorumunda bahsettiği nedenden dolayı $0$'larda seçenek olabilir.)

Sonuç olarak içinde $k$ tane $a$ rakamı içeren sayıların sayısı:

$\dbinom{n}{k}.k.9^{n-k}$ olur. 

$k$'ya birden $n$'ye kadar tüm sayıları koyup toplarsak

$\displaystyle\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}.k.9^{n-k}$ olur.