Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
808 kez görüntülendi

$x+y+z=3$ , $x^{2}+y^{2}=1$ , $z=0$ yüzeyleri tarafından sınırlanan bölgenin hacmini bulunuz.

 

Çözüm:

$$V=\int \int \int^{3-x-y}_{0}dzdxdy$$

 

$$=\int^{2\pi}_{\theta=0}\int^{1}_{r=0}\left(3r-r^{2}\cos\theta-r^{2}\sin \theta \right) drd\theta$$

 

$$=\int^{2\pi}_{0}\left(\dfrac{3}{2}r^{2}-\dfrac{r^{3}}{3}\cos\theta -\dfrac{r^{3}}{3}\sin \theta \right) d\theta$$

 

$$=\int^{2\pi}_{0}\left( \dfrac{3}{2}-\dfrac{\cos \theta }{3}-\dfrac {\sin }{3}\right) d\theta=\dfrac {3}{2}\theta - \dfrac{\sin \theta }{3}+\dfrac{\cos \theta }{3}$$

 

$$=3\pi + \dfrac{1}{3}-\dfrac {1}{3}=3\pi$$

 

 

Lisans Matematik kategorisinde (457 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 808 kez görüntülendi

Bu hacim,  basit geometri ile (integral kullanmadan) de bulunabilir.

Nasıl hocam?

Ortada sorumu var cevap mi pek anlayamadim. 

Sercan hocam sorumuz başlıkta benim çözümüm(integral yardımıyla) açıklama kısmında farklı ve mükemmel çözümlerde aşağıda :)

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

1 yarıçaplı silindirin ($x^2+y^2=1$), simetri eksenine ($z$ ekseni) dik bir düzlem ($z=0$) ile eğik bir düzlem ($z=3-x-y$) arasında kalan kısmının hacmi bulunacak.

Eğik düzlemin silindiri kestiği noktanın (yatay düzleme) en yakın noktasının uzaklığı : $3-\sqrt2$ 

($3-\sqrt2$: $3-x-y$ nin $x^2+y^2=1$ çemberi üzerindeki minimum değeri)

Eğik düzlemin silindiri kestiği noktanın (yatay düzleme) en uzak noktasının uzaklığı : $3+\sqrt2$ 

($3+\sqrt2$: $3-x-y$ nin $x^2+y^2=1$ çemberi üzerindeki maksimum değeri)

İkisinin ortalaması=3, cismin taban alanı=$\pi$. Hacim=$3\times\pi=3\pi$

(5.1k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Teşekkür ederim hocam

Aslında "ortalama yükseklik" daha kolay bulunuyor. 

Ben uzatmışım. $x= y=0$ iken $z=3$ olur. 

Bu değer ortalama yüksekliktir.

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$z=3$ ile bu kesik silindiri tekrardan kesersek ust kismi simetrik olarak alta tasiyarak yuksekligi 3 olan bir silindir elde ederiz. Buradan da hacim $3\pi$ olur. 

(24.5k puan) tarafından 
19,042 soru
20,982 cevap
69,533 yorum
22,678 kullanıcı