Question

$x+y+z=3$ , $x^{2}+y^{2}=1$ , $z=0$ yüzeyleri tarafından sınırlanan bölgenin hacmini bulunuz.

 

Çözüm:

$$V=\int \int \int^{3-x-y}_{0}dzdxdy$$

 

$$=\int^{2\pi}_{\theta=0}\int^{1}_{r=0}\left(3r-r^{2}\cos\theta-r^{2}\sin \theta \right) drd\theta$$

 

$$=\int^{2\pi}_{0}\left(\dfrac{3}{2}r^{2}-\dfrac{r^{3}}{3}\cos\theta -\dfrac{r^{3}}{3}\sin \theta \right) d\theta$$

 

$$=\int^{2\pi}_{0}\left( \dfrac{3}{2}-\dfrac{\cos \theta }{3}-\dfrac {\sin }{3}\right) d\theta=\dfrac {3}{2}\theta - \dfrac{\sin \theta }{3}+\dfrac{\cos \theta }{3}$$

 

$$=3\pi + \dfrac{1}{3}-\dfrac {1}{3}=3\pi$$

 

 

Comments

Bu hacim,  basit geometri ile (integral kullanmadan) de bulunabilir.

---

Nasıl hocam?

---

Ortada sorumu var cevap mi pek anlayamadim. 

---

Sercan hocam sorumuz başlıkta benim çözümüm(integral yardımıyla) açıklama kısmında farklı ve mükemmel çözümlerde aşağıda :)

Answer 1

1 yarıçaplı silindirin ($x^2+y^2=1$), simetri eksenine ($z$ ekseni) dik bir düzlem ($z=0$) ile eğik bir düzlem ($z=3-x-y$) arasında kalan kısmının hacmi bulunacak.

Eğik düzlemin silindiri kestiği noktanın (yatay düzleme) en yakın noktasının uzaklığı : $3-\sqrt2$ 

($3-\sqrt2$: $3-x-y$ nin $x^2+y^2=1$ çemberi üzerindeki minimum değeri)

Eğik düzlemin silindiri kestiği noktanın (yatay düzleme) en uzak noktasının uzaklığı : $3+\sqrt2$ 

($3+\sqrt2$: $3-x-y$ nin $x^2+y^2=1$ çemberi üzerindeki maksimum değeri)

İkisinin ortalaması=3, cismin taban alanı=$\pi$. Hacim=$3\times\pi=3\pi$

Comments

Teşekkür ederim hocam

---

Aslında "ortalama yükseklik" daha kolay bulunuyor. 

Ben uzatmışım. $x= y=0$ iken $z=3$ olur. 

Bu değer ortalama yüksekliktir.

Answer 2

$z=3$ ile bu kesik silindiri tekrardan kesersek ust kismi simetrik olarak alta tasiyarak yuksekligi 3 olan bir silindir elde ederiz. Buradan da hacim $3\pi$ olur.