$\dfrac{a^2+b^2}{a.b+1}$ ifadesini tam kare yapan $(a,b)$ ikilisi varmıdır ?

Question

$a,b\in\mathbb{N}$ olmak üzere

$\dfrac{a^2+b^2}{a.b+1}$ ifadesini bir tamsayının karesine eşit yapan kaç $(a,b)$ ikilisi vardır?

Ben şöyle çözmeye çalıştım:

$\dfrac{a^2+b^2}{a.b+1}=m^2, m\in\mathbb{Z}$

$a^2+b^2=m^2ab+m^2$

$(a+b)^2-2ab=m^2ab+m^2$

$(a+b+m)(a+b-m)=ab(m^2+2)$

Buradan sonra devam edemedim. Kitabın çözümü ise şöyle:

$\dfrac{a^2+b^2}{a.b+1}$ ifadesinde $b=a^3$ için 

$\dfrac{a^2+a^6}{a^4+1}=\dfrac{a^2(a^4+1)}{a^4+1}=a^2$ olur. Bu da sonsuz çoklukta $(a,b)$ ikilisi için $\dfrac{a^2+b^2}{a.b+1}$ ifadesinin tam kare olacağını gösterir.

Ama bu çözüm $b=a^3$ alıp çözdüğü için çok aklıma yatmadı. Teker teker $b$'ye a cinsinden değerler yazmak çok zaman alır bazen bulunulamayabilir. $b$'ye $a^3$ koymadan nasıl çözebiliriz bu soruyu ?

Comments

Tamsayılarda çözümü aranan denklemlerde (Diyofant denklemleri) bazen

• Denklemin çözümü var mıdır?
• Çözümler sonlu sayıda mıdır ve böyle ise bu çözümler nelerdir?
• Çözümler sonsuz sayıda mıdır?
• Çözümler sonsuz sayıda ise tüm çözümleri veren genel çözüm ailesi bulunabilir mi?

türü soru köklerinden yalnızca birine cevap verebilmek bile başarıdır. Bu soruda da olduğu gibi tüm çözümlerin genel bir ifadesini bulmamız istenmeyebilir.

Soru sizden (bizden) denklemin doğal sayılarda kaç $(a,b)$ ikilisi için sağlanacağını soruyor. (İfadenin sağ tarafının tam kare olduğu verildiği için artık bir denklem oldu). Bahsettiğiniz kitabın çözümü de basitçe $b=a^3$ alırsak verilen oranın (sol tarafın) $a^2$ ye eşit olacağını ve böylece $(a,a^3)$ formunda sonsuz çoklukta çözümü olacağını ifade etmiş. Doğru da yapmış.

Yanılmıyorsam bu problem, 90'lı yıllara ait IMO (Uluslararası Matematik Olimpiyatı) sorularından birinin az modifiye edilmiş biçimi olarak görülüyor. Orijinal soruda da sanırım, ''$\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}$ tam kare ise $b$ nin tam küp olacağını ispatlayınız'' biçimindeydi. Dolayısıyla siz IMO sorusunun çözümünü sormuş oluyorsunuz. Bence arşivleri karıştırınız ve www.artofproblemsolving.com gibi sitelere bakınız. Orijinal IMO sorusunu ve çözümünü bulacağınızı düşünüyorum.