Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
453 kez görüntülendi
$a,b,c\in\mathbb{N}$ olmak üzere 
$6/a+b+c$ ise $6/a^3+b^3+c^3$ olduğunu gösteriniz.
Aslında soruyu çözdüm ama çözümüm bana göre güzel değil bundan dolayı başka çözümler yapmaya çalıştım ama başaramadım başka ne gibi yollar bulunabilir ?

Benim Çözümüm:
$a+b+c=6k$'dır ve 
$a^3+b^3+c^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3$
$=(a+b)((a+b)^2-3ab)+c^3\equiv (-c)((-c)^2-3ab)+c^3(mod 6)$
$\equiv -c^3+3abc+c^3(mod 6)\equiv 3abc(mod 6)$
Yani eğer ki $abc$ çarpımı 2 ile bölünüyorsa $a^3+b^3+c^3$ 6 ile bölünür.
Varsayalım ki $abc$ 2 ile bölünmesin o zaman 
$a=2x+1, b=2y+1, c=2z+1$ yazabiliriz.
$a+b+c=6k$ denkleminde bunları yerine yazarsak
$2(x+y+z)+3=6k$ olur ama bu denklemin sağlanamayacağı açık çünkü denklemin solu tek sağı çift.
Demekki $a,b,c$'den en az biri çift. Dolayısıyla $abc$'de çift. Böylece $6/a+b+c$ ise $6/a^3+b^3+c^3$ olur.


Orta Öğretim Matematik kategorisinde (194 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 453 kez görüntülendi

($a+b+c$, 6 ya bölündüğü zaman) $a^3+b^3+c^3$ in hem ikiye hem de üçe tam bölündüğünü göstermeyi deneyebilirsin. Çarpanlara ayırmaya gerek yok. $a$ ile $a^3$ e ve diğerlerine bak.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Fermat nın Teoreminden;

Her $a\in\mathbb{N}$ için $a^2\equiv a\mod2$ olur. $a^3\equiv a^2 \cdot a\equiv a\cdot a\equiv a\mod 2$ 

($b$ ve $c$ için de aynı şey geçerli)

ve $a^3\equiv a\mod 3$ olur ($b$ ve $c$ için de aynı şey geçerli)

Yukarıdaki işlemlerdem:

$a^3+b^3+c^3\equiv a+b+c\mod2$ ve $a^3+b^3+c^3\equiv a+b+c\mod3$ olur.

(Bu noktada hızlı çözüm: Çin Kalan teoreminden $a^3+b^3+c^3\equiv a+b+c\mod6$ olur)

uzun Çözüm:

$6\mid a+b+c$ olduğu için  $a+b+c\equiv0\mod2$ ve $a+b+c\equiv0\mod3$ olur.

 $a^3+b^3+c^3\equiv 0\mod2$ ve $a^3+b^3+c^3\equiv 0\mod3$ dolayısıyla $6\mid(a^3+b^3+c^3)$ olur.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,220 soru
21,752 cevap
73,355 yorum
1,994,465 kullanıcı