Değişik bir problem? 2

Question

4×4’lük satranç tahtasının her birim karesine birer gerçel sayı yazılmıştır. Ortak kenar paylaşan birim karelere yazılmış sayılar komşu sayılardır. Her sayının komşu sayılarının toplamı 6’ya eşit olan bir satranç tahtasındaki sayıların toplamı en fazla kaç olabilir?

(Soru net bir şekilde açıklanmıştır.)

İlk satırda  a b c d olsun 

a+b=6

b+c=6

c+d=6

.

.

. 

?

Comments

Tüm çözümlerde (sonsuz çoklukta çözüm var) toplam aynı çıkmıyor mu?

Answer 1

Cevap 36. Mathematica ile cozumu:


n = 4;
MatrixForm[mat = Array[a, {n, n}]];

loc = Join @@ Table[{i, j}, {i, n}, {j, n}];

nf = Nearest[Tuples@Range@Dimensions@mat -> Flatten@mat];
fourNeighbors[pt_] := nf[pt, {All, 1}][[2 ;; All]]

cond = Thread[Total /@ fourNeighbors /@ loc == 6];

var = Flatten@mat;

obj = Total@var;

sol = Maximize[{obj, cond}, var];

Partition[var /. Last@sol, n] // MatrixForm


 

4x4chess.pdf (62 kb)

Birkac gozlem: Min yapan matrixle Max yapan matrix aynidir. Simetrik olan sayilarin yeri degisebilir.

$n$ tek ise cozum yok gibi..

$n= 4$ 

$\left(
\begin{array}{cccc}
 6 & 0 & 0 & 6 \\
 6 & 0 & 0 & 6 \\
 0 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 6 & 6 & 0 \\
\end{array}
\right)$

$n= 6$

$\left(
\begin{array}{cccccc}
 0 & 0 & 6 & 6 & 6 & 0 \\
 6 & 0 & 0 & -6 & 0 & 0 \\
 6 & 0 & 6 & 0 & 6 & 6 \\
 0 & -6 & 6 & 0 & 0 & 0 \\
 6 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 \\
 6 & 0 & 0 & 0 & 6 & 6 \\
\end{array}
\right)$

$n= 8$

$\left(
\begin{array}{cccccccc}
 6 & 0 & 0 & 6 & 6 & 0 & 0 & 6 \\
 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\
 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 \\
 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\
 6 & 0 & 0 & 6 & 6 & 0 & 0 & 6 \\
 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 6 & 6 & 0 & 0 & 6 & 6 & 0 \\
\end{array}
\right)$

$n= 10$

$\left(
\begin{array}{cccccccccc}
 6 & 0 & 0 & 0 & 6 & 6 & 0 & 6 & 6 & -6 \\
 6 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & -6 & 0 & 6 & 0 \\
 0 & -6 & 6 & 0 & 0 & 6 & 6 & 0 & 0 & 6 \\
 6 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & -6 & 6 \\
 6 & 0 & 0 & 0 & 6 & -6 & 0 & 6 & 0 & 6 \\
 0 & 0 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 \\
 0 & 6 & 6 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 6 & 6 & 0 & 6 & 6 \\
 6 & -6 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & -6 & 0 & 0 \\
 12 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 6 & 6 & 6 & 0 \\
\end{array}
\right)$

$n= 12$

$\left(
\begin{array}{cccccccccccc}
 6 & 0 & 6 & 0 & 0 & 6 & 0 & 6 & 6 & 0 & 0 & 6 \\
 6 & -6 & 6 & 0 & 0 & 6 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\
 6 & -6 & 6 & 0 & 0 & 6 & 0 & 6 & 0 & 6 & 0 & 0 \\
 6 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & -6 & 6 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 6 & -6 & 6 & 0 & 6 \\
 0 & 6 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 6 & 0 & 6 & -6 & 6 \\
 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & -6 & 6 \\
 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 6 & 6 & 0 & 0 & 6 & 0 & 6 \\
 6 & 0 & 0 & 6 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
 6 & 0 & 0 & 6 & 0 & 6 & 0 & 6 & 6 & 0 & 6 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & -6 & 0 & 0 & -6 & 6 & 0 \\
 0 & 6 & 6 & 0 & 0 & 6 & 0 & 6 & 6 & 0 & 6 & 0 \\
\end{array}
\right)$

Download the PDF: 4x4chess.pdf

Comments

Her zamanki gibi ökkeş bey geçiyordunuz uğradınız otursaydınız nolurdu onu bilmiyorum teşekkürler..:)

---

Ortadaki 4 karedeki sayılar 0 olmak zorunda.