Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1k kez görüntülendi

Pozitif gerçek sayıların sonlu bir kümesi verilsin. Bu kümeden alınmış herhangi a,b ve c sayıları için abc sayısı da kümenin elemanı ise, söz konusu kümeye "iyi küme" diyelim.

Örneğin {13,23,1} 3 elemanlı iyi bir kümedir. Herhangi iyi bir kümenin eleman sayısının üçten fazla olamayacağını gösteriniz.

Ben ispatlamak için çelişki yöntemini kullanmaya çalıştım. 4 elemanlı bir kümenin iyi bir kümenin olamayacağını gösterirsem 4'ten büyükler içinde göstermiş olabileceğimi düşündüm (emin değilim ama). Ama 4 elemanlı iyi küme olamayacağını gösteremedim nasıl bir yol izlemeliyim acaba ?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (194 puan) tarafından  | 1k kez görüntülendi

4 eleman varsa, kümenin özelliğin kullanarak yeni elemanlar üretmeyi deneyebilirsin. 

Küme sonlu olmasına bir çelişki bulmayı deneyebilirsin.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

nN+ olmak üzere "iyi " kümenin eleman sayısının  üçten fazla olduğunu ve her biri pozitif reel sayı olan ,x1,x2,x3,x4,...,xn  şeklindeki n>3  tane elemandan oluştuğunu kabul edelim. Ayrıca bu elemanların 0<x1<x2<...<xn şeklinde sıralı olduğunu da düşünelim. Bunu böyle düşünmemizin "iyi" küme tanımına aykırı olmadığı açıktır.

Bu kümeden (n2)  sayıda farklı ikililer seçebiliriz. O halde (1i,jn), ij olmak kaydıyla |xixj| lerin sayısı (n2) kadardır. O zaman elimizde  n2 adet |xixj|xk şeklinde birbirinden farklı kesir var demektir. (ijki). Bu (n2) kesirlerinin her biri bizim "iyi" kümemizin elemanı olmak zorundadır.

Demek ki (n2).(n2)nn.(n1)2.(n2)n(n1)(n2)2n(n3)0n3   elde edilir.

(19.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Hocam elimizdeki kesirli sayıların sayısını nasıl |xixj|xk.(n2) bulduk bunu anlayamadım. Bir de biz bu kesirli sayıların farklı olduğunu nerden biliyoruz ?

n tane elemandan kaç tane ikili seçebiliriz? (n2) kadar değil mi? geriye seçilmeyen n2 eleman kalmaz mı? Bunları da değişik olarak paydaya yazarsak  |xixj|xk şeklinde oranlardan kaç tane olur?n2 tane. Demek ki elimizde "iyi" küme tanımına uygun olarak yazabildiğimiz ve her biri verilen kümedeki bir elemana eşit olması gereken n2 adet |xixj|xk  yeni oran var. 

Mesela bir ikili seçimde, x1923,x1881  elemanları seçilmiş olsun. Burada indisi büyük olanın daha büyük olduğunu biliyoruz. Zaten de mutlak değere alıyoruz. Şimdi bu iki elemanın farkının mutlak değerini indisi bunlarınkinden farklı olan herhangi bir elemana bölmeliyiz. Mesela x1 'e bölelim. |x1923x1881|x1 olur. İstersek x2 'ye de bölebiliriz. O zaman da |x1923x1881|x2 olur.İstersek x3,x4,...,xn 'e bölebiliriz. Yalnız x1923' e ve x1881' e bölemeyiz. Peki payları aynı olan fakat paydaları farklı olan bu kesirlerden kaç tane var acaba? Ve bunlardan birbirine eşit olan var mı? 


Payları aynı paydaları farklı kesirlerden n2 tane var ve bunlardan birbirine eşit olanlar yok çünkü pay sabit ve paydaya farklı değerler geliyor. Fakat biz |xixj|lerin sayısı olan (n2) ile (n2)yi çarpınca elimize aynı sayılar geçebilir. Nitekim x3x2=x5x4 alırsak x3x2x1=x5x4x1 olmaz mı ?

Paydaları farklı ise nasıl eşit olurlar?

x1=1, x2=2, x3=3, x4=4, x5=5 olursa

x4x2x1=x5x1x2 yaparak hem paydaları farklı hemde eşit yapabiliriz.

20,314 soru
21,870 cevap
73,591 yorum
2,878,675 kullanıcı